[일반] 해석학 open set 관련해서 질문좀

[익명(116.124)]

R^n 의 임의의 공집합이 아닌 open set A에 대해서 A-B가 open set 이 되도록 하는 A에 속하는 open ball B가 존재함?

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추가

덧붙여서 A가 R^n이 아니라면 참인 명제인가요?

[코코넛(116.37)]

일반적으로는 성립안함. 물론 성립하는 예시도 있음

[코코넛(116.37)]

성립하는 예시: A를 오픈볼이라 하고 A=B로 선택 성립안하는예시 :A를 R^n전체라 하고, B를 반지름 유한인 오픈볼 아무거나 고르면 A-B 는 오픈이 아님

[익명(116.124)]

만약 A가 R^n 이 아니라고 하면 참이라고 할 수 있을까요?

[코코넛(116.37)]

놉 A가 반지름2 원점중심 오픈볼, B가 반지름1 원점중심오픈볼도 반례임. 참고로 A가 연결일때는 B를 공집합이나 A전체로 택하지않는이상 항상 성립안함

[익명(116.124)]

엥? A가 반지름 2인 원점을 중심으로하는 open ball로 택하면 B=A 라고하면 위에서 말씀하신것처럼 공집합이므로 open set이 되지 않나요?

[코코넛(116.37)]

아 존재성을 묻는거엿구나 그러면 A가 오픈볼일때 빼곤 성립안함

[익명(116.124)]

감사합니다 근데 R에서는 (0, 1) 와 (2, 3)의 합집합이 open ball이 아닌 open set 인데 (2, 3)을 제거해도 다시 open set이 되지 않나요?

[코코넛(116.37)]

아 맞네 A가 오픈볼의 disjoint union일때도 성립

[코코넛(116.37)]

A가 연결일땐 오픈볼인 경우만 성립

[익명(116.124)]

감사합니다 그러면 R에서는 참인 명제인거죠?

[코코넛(116.37)]

ㄴㄴ(0,무한대 생각해보셈)

[익명(116.124)]

감사합니다!

[코코넛(116.37)]

정리하면: 저런 B가 존재할 필충은 A의 연결성분 중 오픈볼인게 존재하는 것임.