T가 벡터공간 V에서의 선형연산자이고 T^2이 항등변환, T는 항등변환이 아니라 할 때 U(T)={v∈V|T(v)=v}, W(T)={v∈V|T(v)=-v}라 하자.
U(T)와 W(T) 중 적어도 하나는 V의 {0}이 아닌 부분공간임을 증명하시오.
참고로 이 문제는 Vector Space, Linear Transformation, Range, Null Space 정도의 개념만 사용해야 함.
고유값이나 행렬식 같은 건 사용 못함
뭔가 느낌상 귀류법으로 U(T)=W(T)={0}으로 가정하고 T가 항등변환임을 이끌어내면 될 것 같은데 잘 안되네 어케 하는지 아시는 분
T^{2}(v)=T(T(v))=v 이므로, 임의의 v에 대해 T(v)=w, T(w)=v를 만족하는 w∈V 가 존재해야하는데, 그럼 T(v+w)=T(v)+T(w)=v+w가 됨. 따라서, 임의의 논제로벡터 v와 T(v)=w에 대해 v+w가 U의 원소여야하고, v+w≠0이면, v+w가 U의 non-zero vector이고, v+w=0이면 v가 W의 non-zero벡터가 됨.
아 쉬운 문제였네 감사합니다
참고로 T가 항등변환이면 U=V라서 님이 풀고있는 방식으로는 절대 안풀림
걍 U(T)와 W(T) 둘 중 하나는 {0}이 아님을 보이기만 하면 되겠네 T^2이 항등변환이니까 바로 나오는구만