[일반] 미적분학 배우는 문과생인데요 테일러 정리 관련해서 질문 있습니다

[익명(112.173)]

맨 위의 식인 f(b) = f(a) + ...

라는 식이 도대체 무엇을 나타내고 어떻게 우변 처럼 나열되는지 모르겠습니다. 

[익명(182.211)]

a근처에서 f(b)가 나열한거랑 거의 똑같고 R은 오차라는 소리임

[익명(182.211)]

근데 보통 테일러 급수로 더 일반화하지 않나

[익명(112.173)]

먼저 감사의 말씀 드리고 질문 더 여쭤보겠습니다. 저걸 그림으로 나타낼 수 있나요? 그리고 우변에 규칙이 있는거 마냥 계속 더해지는데 어떻게 그 규칙이 더해지나요.

[익명(182.211)]

저건 좀 보기가 불편하니 테일러급수 검색해서 보는게 편할거같고 테일러 급수는 어떤 함수를 다항식으로 나타낸건데 n번 미분한건 다항식의 n차항에 대응된다고 생각하면 되고 f를 n번 미분하면 분모에 n!깔리니까 저렇게 됨

[익명(182.211)]

아니 f를 n번 미분하면 깔리는게 아니라 x^n을 n번 미분하면 분모에 n!깔리니까

[익명(112.173)]

감사합니다 계속 이해해보겠습니다

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[익명(112.173)]

감사합니다+

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

y=f(x)라는 함수에 대해 알고 싶은데 함수 전체에 대해 알고 싶은데 아니라 한 점 (x,y)=( a,f(a) )근처의 함수에 대해 알고 싶다고 하자. 이 때 이미 알고 있거나 더 쉬운 y=g(x)가 있는데 x=a 근처에서만은 g(a)=f(a) 라면 어떨까? ( a,g(a) ) 를 연구해도 상관없겠지?

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

y=f(x) 와 y=Ax+B (A,B는 상수) 가 x=a 근처에서 같다면 얼마나 좋을까? 근데 실제로 함수가 연속이고 미분가능하면 구해봄직함. B값은 x=0에서 함수값이니 B=f(a) 그러면 y=Ax+f(a) A값은? y=f’(x)와 y=A 는 x=a 근처에서 만은 같다고 볼 수 있으니 A=f’(a) 즉 x=a 근처에서 y=f(x)는

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

y=f’(a)x+f(a)와 같다고 할 수 있지. 한편 좀 더 일반적으로 y=f(x)를 y=Ax^{2}+Bx+C와 같다고 한다면 경우에 따라서 얼마나 유용할까?A=0일 때는 일차함수로 돌아가고... 비슷한 방식으로 하면 x=a근처에서만은 y=f”(a)/2 x^{2}+f’(a)x+f(a)와 같겠지. 더 일반적으로 하면?

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

더 일반적으로 y=f(x)는 x=a 근처에서 연속이고 n번 미분 가능하면 y=a0+a1x+...anx^n과 같겠지. 근데 x=a 근처에서 아주 조금만 벗어나도 오차가 생겨버려. 그 안에서는 인간의 인식수준으로 오차를 구별할 수 없는데 말이야. 안타까운 일이지. 다른 함수가 되어버리니까. 그 오차를 보정해 주는데 Rn 이야. n->inf 일 때 Rn->0

[익명(112.173)]

정말 많은 도움이 되었습니다 덕분에 정리를 명확하게 할 수 있었습니다 :)

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

이면 x=a 의 근방이 점점 넓어져 실수 전체를 덮을 수 있겠지.
https://namu.wiki/w/%ED%85%8C%EC%9D%BC%EB%9F%AC%20%EA%B8%89%EC%88%98
이건
나무위키 테일러급수.