마지막에 한 줄 요약있음.
대학 동기랑 오랜만에 만나서 수학 이야기를 하다가 어찌하다 보니 Z_{60}의 몫환중 체인 환들의 곱환의 표수를 구하라고 하는 문제 얘기를함.
유한체의 위수는 q^{r} | 60=|Z_{60}|=2^{2}*3*5 라서 위수가 2,3,2^{2}=4,5 인것 중 Z_{60}/<4>는 영인자가 있어서 체가 아님.
Z_{60}/<2> × Z_{60}/<3> × Z_{60}/<5> ~(동형)Z_{2}×Z_{3}×Z_{5}~Z_{30}~R 이므로 charR=30임.
근데 여기까지는 좋았는데 Z_{60}/Z_{2} 에 관한 논쟁이 있었음.
처음에는 자명하게 안된다고 생각함.
가만히 생각해보니 Z_{2}는 Z_{60}의 부분군도 부분환도 아님. 연산이 다름.
Z_{n}의 부분군과 부분환은 mZ_{n}이라고 알고있음.(단,m|n)
Z_{2}와 동형인 30Z_{60}~<30>가 있다는 건 알고있음.
근데 여기서 본격적인 질문임.
Z_{2}는 Z_{60}의 부분집합도 안됨?
부분집합은 가능하다면 Z_{60}/Z_{2}는 몫군과 몫환은 아니더라도 몫집합은 가능하지 않을까? 라는 의문이 생김.
Z_{2}는 Z_{60}의 부분집합임?
Z/2에서 Z/60으로 가는 단사함수를 생각해서 그 이미지가 부분집합이 된다고 할수는 있는데 (정확히 말하면 {0+60Z,30+60Z}) 자체가 부분집합은 아니지
간단히 생각해보면 Z/2={{...,-2,0,2,...},{...,-1,1,3,....}}이고 Z/60={{...,-60,0,60,..}{...,-59,1,61,...},...,{...,-1,59,119,...}}자너
그건 아는데 {{...,-60,0,60,...},{...,-59,1,61}} 라는 집합은 집합적으로 의미없는 집합일까? 라는 의문이었음.
어떻게 construct하냐에 따라 다르겠지. Z2를 {0,1}에 연산구조를 준 거로 볼수도 Z/2Z로 equiv class에 연산구조를 준 거로 볼수도 있잖아. 근데 집합론적으로 더 엄밀하게 얘기하면 군의 원소들 + 연산구조를 주는 방식까지 생각해야할듯
{0,1,2,...,59}의 부분집합 {0,1}은 집합적으로 보면 잘못된거임?
그 둘 집합의 포함관계는 맞는데 그게 각각 Z60 Z2라고 보기엔 집합론적으로 거시기한거지. 연산구조가 없이 원소만 있는데 그걸 군이라고 하나?
그렇네요. 이제 대충 알겠어요. 그런 집합이 존재하기는 하는데 그 집합을 Z_{2}라고 할 수는 없을 것 같네요. 감사합니다.
뭐 근데 사실 원소만 따지고 집합포함관계 따지는거 쓰면 좋을때 많긴함 존재성 보이면 다신 볼일 없는 증명들이긴 하지만
Z_60에서의 1은 2배 하면 0이 아니지만 Z_2에서의 1은 2배 하면 0이 되니까 둘을 구분해야 합니다.
연산이 다른건 알고있고 따라서 부분군으로서 부분환으로서는 아무런 논할 가치가 없는 것도 알고 있음. 부분집합으로서도 의미가 없는거임? 아니면 이런 생각 자체가 큰 의미없는거임?
Z_60의 1과 Z_2의 1이 다르니까 부분집합으로 취급하지도 않는게 맞고, 어떤 군/군의 원소가 어떤 집합 꼴이니 따지는 건 의미 없습니다.
무슨 의미인지 알겠어요.
부분집합으로 생각할 이유가 단 하나도 없음