[일반] 대수질문

[익명(210.179)]

H가 G의 subgroup임
H를 generate하는데에 있어 적어도 t개의 원소가 필요하다고 가정하면 G가 t보다 적은 원소로 generate 될수가 있음?

직관적으론 안될거 같은데 증명은 어케하냐?

[익명(210.179)]

G가 finite abelian인 경우에 대해서만 말해줘도 됨 내가 그 경우를 풀고잇어서.. Sn이랑 An이 반례 같기도하네

[코코넛(116.37)]

참임

[코코넛(116.37)]

아니 거짓임

[익명(210.179)]

finite abelian이여도 거짓임?

[코코넛(116.37)]

H를 generate하려면 최소t개의 원소가 필요하면 G도 마찬가지임을 보이자. finite abelian이니깐 generator는 유한개일거고 t에대한 귀납법 이용가능. t=1이면 참. t>1가정. G가 t보다 적은 개수의 원소들, n개로 generate된다고 가정하면 Z^n에서의 G로의 surj. homo. f 존재. 이때 K=f^{-1}(H)라 하면

[코코넛(116.37)]

K는 free abelian인 Z^n의 subgrp이니깐 n보다 작은 개수의 원소 m개로 생성가능. f를 K에 restrict하면 H로의 전사함수이므로 H도 m개로 생성가능해서 모순

[익명(210.179)]

지리고 갑니다

[코코넛(116.37)]

abelian임을 확실히 이용햇다는점 유념하셈 그리고 free abelian에 대해서는 참임을 이용하긴햇는데 이건 증명 랭이나 헝거포드에잇음

[익명(210.179)]

좀 읽어봤는데 내가 말한 명제가 참이긴 한거 같은데 풀려는 문제보다 더 스케일이 커진듯? ㅠㅠ

[익명(125.209)]

H가 생성원 a b c를가진다하자. 그리고 G가 한개를 뺀 생성원 a b를 가진다하자. 그러나 G의 원소이기도한 c는 a b의 결합으로 표현불가능하다. (표현가능햇다면 c는 H의 생성원이 아님) 이것은 다시 c가 G의 원소임에 모순이다.

[코코넛(116.37)]

이렇게하면 안되는게 generator를 H 밖에서 꺼내는 경우도 생각해야함

[익명(125.209)]

그러넹 내가 잘몬한듯

[TQFT(59.15)]

G = Free group on 2 generators, H 를 Free group of k generators k > 2인 G의 subgroup으로 잡으면 반례인듯. H가 존재하는 이유는 G 를 S1 V S1 의 기본군으로 보고 H를 기본군으로 가지는 S^1V S^1의 덮개 (covering space)를 쉽게 만들수 있음

[익명(210.179)]

Sn An으론 반례 안될려나? 될거같아서..