집합족 S={U_i | i∈I} 가 주어져있고, 각 i∈I에 대해서 U_i는 R에서의 개구간


먼저 다음과 같은 동치 관계를 주자


U_i ~ U_j if and only if I의 부분집합 I'이 존재해서 U_i, U_j ⊂ U(i∈I')U_i 그리고, U(i∈I')U_i는 개구간


또 동치류들의 모임(상집합)을 S/~ 라고하자 그러면


U([s]∈S/~){U(x∈[s])x) 는 개구간들의 disjoint union이 된다


근데 여기서 S/~가 countable set 임을 보이고싶은데 어떻게 보여야 할지 모르겠음


기본적인 아이디어는 U(x∈[s])x가 전부 유계인 개구간일때는


엡실론을 각 U(x∈[s])x들의 하한들의 크기를 비교해서 가장 작은걸로 정의하고 epsilon = inf{|inf(U(x∈[s])x) - (infU(x∈[s'])x)| | [s] != [s'], [s], [s'] ∈ S/~ }


그러면 1epsilon, -1epsilon, 2epsilon, ... 에 대해서 U(x∈[s])x마다 최소한의 엡실론앞에 계수를 갖는게 유일하게 존재하므로 엡실론의 계수들을 N으로보내는 단사함수를 생각할 수 있으므로 countable set 이다 이렇게 보이려고 했는데


epislon이 0이지 않다는걸 못보이겠음


+ 일반적으로
A=U(x∈[s])x가 전부 유계인 개구간이라는 조건을 없애기 위해서 함수 f를

f(A) = (infA+supA)/2 (A가 유계), infA (A가 아래로만 유계인 개구간), supA ( A가 위로로만 유계인 개구간) A=R이면 위 명제가 참인게 자명하므로 A=R인경우는 생각 X
epsilon = inf{f(U(x∈[s])x)-f(U(x∈[s])x)| | [s] != [s'], [s], [s'] ∈ S/~ } 로 정의했는데 여기서 epsilon이 0만 아니면 countable set임을 보일 수 있는데

여기서도 epsilon이 0이 아닌걸 보이기 까다로움