do carmo 책의 2-4.15를 풀려고 하고있고
지금 어디까지 진행했냐면 x를 parametrization이라 할 때 각 점(u,v) 마다 적당한 상수 k가 존재하여 fixed point c에 대하여
k(x_u × x_v)+x(u,v)= c 니까 x_u×x_v 는 x(u,v)-c 에 평행하고 따라서
x_u • (x(u,v)-c) = x_v • (x(u,v) - c) = 0인데 좌측의 두 식은 각각
f(x,y,z) = 1/2(x^2+y^2+z^2) 이라 했을 때 g = f ○ (x(u,v) - c)의 u방향 미분 v방향 미분이니까 결론적으로 g의 그라디언트가 0이고 connected 조건을 이용해서 g = 상수 임을 보이려고 함
근데 conneceted 를 이용해서 g가 상수임을 보이려면 u의 임의의 두 점에 대해서 둘을 연결하는 적당한 curve가 존재하여 그 curve를 따라 적분하면 선적분 기본정리에 따라 0이다 라고 보이는 방법밖에 생각이안나는데
문제는 connected는 curve의 연속성을 주는데 선적분은 curve가 일급이어야 해서 이걸 어케 처리할수있는지가 궁금함...
직관적으론 당연히 될거같은데 이걸 딱히 정당화할 방법이 안떠오릅니다

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