coordinate에 의존하지 않는 것을 tensor라고 부른다고 하던데
Lang에서 보니깐 tensor product를 multilinear map을 장착한 category의 universal object로 정의하더라.
그럼 모든 tensor들은 tensor product의 조합으로 나타나는 거임?
그리고 물리량이 tensor라는 게 결국 그 물리량이 dual vector 의 tensor product의 조합으로 나타나진다는걸 말하는건가?
아니 그럼 시발 tensor가 unique하다는 거는 뭔소리임? 당연희 정의 자체에 universal property가 들어있는데 걍 당연한 소리 아님?
그리고 대수위상 공부할 때에도 scalar를 교체한다는 느낌으로도 tensor product 사용했었는데 도대체 이건 위에 것들하고 무슨 관련이 있는거임??
내가 책 읽는데 tensor랑 tensor product랑 혼동해서 그런건가 존나 혼란스럽다.
씨발 또 dummit foote은 좀 다르게 정의하는 것 같고 도대체 tensor가 뭐냐 진짜.
깔끔하게 알려줄 사람 없냐 진짜. 이거때문에 계속 대가리 존나 아픔.
텐서가 좌표변환에 의존하지 않는다는 건 물리학 수업에서만 들어봤던 말인데 솔직히 뭔 개소린지 난 잘 모르겠고, 수학에서는 그냥 multilinear map하고 연관된 universal property로 깔끔하게 정의함. R이 ring일 때 두 R-module의 tensor product를 그렇게 정의할 수 있음. 대수위상에서 coefficient field 바꿀때 tensor도 같은 맥락임 (Abelian group들(주로 Field나 Ring)을 Z-module로 보고 텐서곱한거).
근데 계속 교수님이 manifold 다루시면서 어떤 대상이 coordinate chart에 의존하지 않는다는 말을 하시면서 요기서 나온 개념이 tensor라고 계속 하시더라고 ㅇㅇ 근데 요게 내가 지금까지 대수에서 배우던 module이나 ab group이나 algebra들의 tensor product와 무슨 관련이 있는건지 잘 모르겠음 ㅅㅂㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 대갈통 개 빠개진다 ㄹㅇ
어디서는 free module을 대충 multilinear map이 잘 들어맞게 최소한으로 자른걸 tensor라고 하던데 free module에서 basis에 대한 independency가 나오는건가? 근데 위의 정의들하고 또 직관적으로 안들어맞는 것 같고
Free module을 잘라서 만든 그게 구체적인 construction이고, 그게 universal property를 만족한다는 걸 증명하는게 연습문제에 있거나 수업에서 다루거나 할거임. 그렇게 한 번 존재성을 보인 이후에는 증명에 써먹기 쉬운 universal property를 주로 사용함.
좌표변환에 의존하지 않는다라는 말은 확실히 이해를 못하겠는데, 일단 물리량들은 대부분 manifold에서 canonical 하게 정의되는 tangent bundle이나 그 dual들의 tensor product (
(또는 wedge, symmetric) product 의 section으로 나타내어지거든. 근데 그게 tensor그 자체하고 근본적으로 연관이 되어있는지는 모르겠음 (vector bundle이 꼭 저렇게 canonical 한 것만 있는 건 아니니까)
tensor product는 module들 사이의 연산 tensor는 tensor product해서 얻은 module의 원소 물리학과에서 말하는 tensor : tangent bundle이랑 cotabgent bundle들 tensor product해서 얻은 module의 원소
universal property는 module들 사이 tensor product의 정의고, R-vector space랑 C를 tensor product하면 C-vector space를 얻을 수 있음. 왜 저러한 C-vector space를 만들려고 tensor product를 쓰는 이유는 scalar곱이 사실 bilinear라서.
수학 하는 입장에선 결국 bilinear map들을 linear map으로 바꿔주는 universal object고 따라서 Hom-tensor adjunction을 생각할 수 있게 해줌. coordinate에 independent하다던가 물리 관련 이야기는 그쪽 전공자에게 묻거나 수학부터 다지고 살펴보세요
예를 들어 어떤 물체의 부피를 구한다고 했을 때, 그 물체 위에서 적분을 해야 하는데, 1학년 미적분학 수준에서라면 그 물체를 매개화, 즉 좌표로 표현해 놓고는 1을 적분해야겠죠. 그런데 그걸 좌표도입없이 volume form을 적분하는 것으로 퉁칠 수 있습니다. 미적분에서는 dxdydz 같은 것은 그저 적분하라는 기호겠지만, 그걸 cotangent bundle의 특정한 section으로 이해하여 좌표 없이 이론을 전개할 수 있거든요. 그런데 이거 하려면 dx, dy, dz라는 것을 먼저 정의해야 하는데, 이걸 tangent vector space의 dual space로 이해하고는 dxdydz는 그런 것들을 "곱"한 것으로 이해하려는 거죠.
그런데 dual vector space의 원소들끼리 곱셈이란 것이 정의되지 않으니, 억지로 곱하는게 tensor product입니다. 더 일반적으로 두 R-module끼리의 tensor product는, R-module들끼리 곱할 방법이 없으니 억지로 곱하는 걸 정의한 것 뿐입니다. 곱셈이니 당연히 상수배나 덧셈하고는 잘 어우러져야 할테고요.
위상수학에서 scalar 바꾸려고 tensor product하는 이유도 똑같죠. 실수만 곱할 수 있던 집합에 복소수까지 "억지로" 곱하려면, 복소수를 텐서곱해 주면 됩니다. 곱해지지 않는 것들을 억지로 곱하는게 tensor product의 역할 중 하나이니까요.
(물론 위에서 dxdydz에서는 tensor product를 wedge product 한 번 더 바꿔줘야 합니다만, 뭐 이것도 결국엔 다 같은 뿌리에서 온 것이니 대충 저렇게만...)
quantum entanglement