1. 부정적분을 구할 수 없다(표현할 수 없다)는게, 표현을 한다고 쳐도 구체적인 함수로 제시를 못 하고 멱급수꼴로밖에 표현할 수 없는 것임?
그러니까 f(x) = sinx/x 의 부정적분을 구할 때, sinx를 맥로린 급수로 표현한 다음에 적분하던데 이 경우도 부정적분을 결국 표현할 수 없다고 보는 것임?
2. '부정적분이 존재한다'와 '부정적분을 구할 수 있다(표현할 수 있다)'는 게 다를 수 있음?
그러니까 부정적분이 존재하지만 부정적분 함수를 표현할 수 없는 경우도 있음?
3. 적분가능하지만 부정적분이 존재하지 않는 함수도 있음?
4. 2번과 3번 질문의 연장으로, 함수 f(x)=e^(-x^2)는 연속이라서 적분가능이지만 부정적분을 표현할 수 없는 함수라고 알고있는데, 그러면 부정적분은 존재하는거임?
개념이 명확하게 잘 안잡힘... 해석학 고수들 도와줘요
1. 초등함수로 표현할 수 없다는 뜻. 초등함수는 뭐 두부 썰듯 딱 떨어지는 정의가 있는건 아니고 대체적으로 다항식이랑 지수식, 그리고 걔들의 역들을 얘기함. 멱급수 꼴로 표현한다는건 꼭 다 되는건 아님. 2. 당연히. 네가 말한것처럼 exp(-x^2)은 초등함수로 적히는 부정적분이 없어서 Erf(x)'으로 정의함. 3. 리만/르베그 적분가능으로 알아듣겠음. exp(-x^2)나 sinx/x는 리만적분이 가능함 (부호 고려한 아래 넒이가 유한). sinx/x는 리만적분 가능하지만 르베그 적분 가능하진 않음. 4. 고등학교 수준 미적분의 기본정리를 쓰면 연속인 함수는 무조건 미분가능한 부정적분을 가짐.
와 덕분에 깔끔하게 이해했음.. 정말 ㄳㄳㄳ
더 재밌는 성질은 리만/르베그 적분 가능하다고 해서 (그러니까 그래프 아래의 넓이를 구할 수 있다고 해서) 꼭 부정적분이 존재하는건 아님. 만약 F가 f의 부정적분이면 F'=f여야하는데, 만약 f가 jump discontinuity를 가지면 f는 부정적분을 가질 수 없음. (Darboux Theorem).
무언가를 유한 시간내에 적어서 표현할 수 있다와 존재한다는 엄연히 다른 개념임. 예를들어 선택공리를 가정하면 모든 벡터공간은 기저를 가지지만, 그게 꼭 기저를 적을 수 있다는 뜻은 아님. 예로 모든 형식적 멱급수의 벡터공간의 기저는 존재하지만 적을 순 없음.
와 완전 자세한 답변 진짜 너무 고맙다 다르부의 정리가 여기서도 쓰일 줄 몰랐고 '유한 시간 내에 적어서 표현'이라고 말하니까 깔끔하게 와닿는다 진짜 고맙다