정의가 있고 난 뒤에 그걸 나타내기 위해 있는게 표기인데
그냥 눈에 보이는 표기를 써놓고 그게 담고 있는 의미를 찾는 경우가 많은 것 같음.
예를 들면 sqrt(-1)도 그렇고, 0^0이나 1/0 같은거?
우리가 음 아닌 실수에서 sqrt를 정의했다고 sqrt(-1)같은걸 i라고 정의하기 전까지는 뭔가 의미를 갖는게 아니고,
sqrt(-1)를 i라고 하자고 정의했으면 이걸 반박한는거 자체가 언어도단임
0^0 같은 경우는 대수적 관점에서 1로 정의해버리면 정말 아무 문제가 생기지 않지만
(일반적인 모노이드에서 x^0은 다 항등원으로 정의하고 (Z,*)도 안될 이유가 없다)
0^0의 표기에서 더 나아가 뭔가 의미를 찾거나 특정 함수가 0에서 연속이길 원하는 (연속일 이유가 없음에도) 사람들 때문에
1로 정의하는게 보편적이지는 않고...
1/0은 그냥 이걸 유의미하게 정의하는 방법이 있을 이유가 없고 여기서 뭔가 의미를 찾고 고민하는게 병신짓임
그 유명한 6/2(1+3)도 수학에 대한 문제가 아니라 거창하게 말해서 메타수학에 대한 문제지.
어떤 수학적 내용을 다투는게 아니라 저 표기를 사람들이 어떤 식으로 받아들이는가? 이걸 따지는 거니까
결국 이런 문제들은 전부 수학적 내용과 메타수학적 내용을 구분하지 못해서 생기는 것들이라고 생각함
표기는 표기일 뿐이고 수학적 내용을 보편적으로 전달할 수만 있으면 그만이니 이거 가지고 고민들 하지 않았으면
맞는 말임. 여기서도 말하면 과한 느낌이 들어서 좀 그렇긴 한데, sqrt(-1)은 영 아니긴 함. 물론 수학자들이야 다 이해 하고 알아듣지만, 이거 가지고 왈가왈부 하는건 수학자들 사이에서도 있는거임. 애당초 내가 아래에 적어둔 내용의 토론이 Conway밑에서 수학한 Princeton 출신 교수가 내놓은 반론임. 물론 내가 적은것보단 훨씬 우아했지만. 교수 이름까지 말하면 이판이 워낙 좁아서 위험하니까 안말하겠음...
나 또한 저게 필요한 표기라고도 생각하지 않고 부자연스럽다고 생각함. 일단 암묵적으로 log(-1)의 브랜치를 정해두고 있는 셈이니까..
일단 "정의"를 하는 시점에선 복소수 루트 성질은 아무것도 모르는 마당인데, 그래서 -1=i^2=sqrt(-1)sqrt(-1)=sqrt(-1*-1)=sqrt(1)=1같은 어처구니 없는 모순도 생기는거고.
그래서 중학교에서 제곱근 처음 배울 때 sqrt(a)sqrt(b)=sqrt(ab)는 a,b가 양수일 때만 성립한다고 배우잖아. 아마 ad hoc인가 싶을 거임.
더 큰 문제는 음아닌 수 a에 대해 sqrt(a)를 x^2=a를 만족하는 음아닌 수로 [정의]해버리는데, 그런 맥락에서라면 sqrt(-1)를 음아닌 수라고 못박는 문제가 생기지. 이러면 그 "편의"를 위해 실수에서 통용되는 제곱근 정의를 뜯어고쳐야하는데, 그야말로 주객이 전도된 일이고. 하여튼 그냥 맘에 안들긴 하지만 보는 사람 입장에선 저새끼가 진짜 하잘것없는걸로 트집잡는다 생각하겠지. 뭐 사실 그렇기도 하고.
누군진 기억은 안나지만 EBS인가 뭔가에서 i가 sqrt(-1)이고 -sqrt(-1)인 이유가 sqrt(-1)은 양수라서 그렇다는 소리도 들은적이 있음...
https://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit
여기서도
그 내용을 다루고 있고.
요게 참 웃긴게 수학은 결국 추상화의 학문이고 결국 "실질적인 수학의 내용"(?) 역시도 사과 3개가 수로 나타내면 3으로 적히면서 사과라는 내용이 사라지듯이 사라질 수 있다는거
0^0=1주의자로서 정말 맞는말이다
이쪽은 심지어 대수적인 정당화까지 되고
대수적으로는 밑에 있는 0이랑 지수의 0이랑 그 성격이 좀 다른데 (아래 있는 놈은 (Z,*)의 0, 지수에 있는 놈은 ((Z>=0),+)의 0) 사람들의 직관에 정수환이 너무 강하게 박혀 있어서 둘다 정수환의 0으로 이해하니까 거부감을 갖게 되는거 같음
그렇지 않은 케이스, 1/0같은거도 개인적으론 0으로든 뭐든 정의해버리면 그만이라고 생각해서. 나누기는 그냥 매핑일 뿐인데 "나눴다가 곱하면 원래대로 돌아와야 된다"를 (0으로 나눌때 빼고)란 조건을 붙인 정리가 아니라 정의 수준에서 요구해버려서 정의안됨 같은 거나 만들고
솔직히 "현 프랑스 왕은 대머리다"란 문장을 기어이 만들고 싶은건지 모르겠음.
보충설명 ㄱㅅ. 대수는 공부안해서 감각이 부족한데 그런식으로 해석할 수도 있겠네
난 거기에 대해선 좀 생각이 다른데, 어차피 나눗셈은 '역원을 곱한다'로 정의하고 이를 확장할 필요가 전혀 없기 때문에 역원이 없다면 그냥 정의할 이유가 없다고 생각함.
난 논리쪽에서 와서, 나눗셈이 2항 전함수가 아니면 논리체계 위에서 "함수"로서 다루기 좀 까다로워져서 그렇게 생각했었음. 프랑스왕 운운도 그런거고. 나눗셈 확장해 봤자 1/0에는 더미값이 들어갈거고, 그 확장된 나눗셈 자체는 아무 쓸모도 없다는 말에는 동의.
고딩때 수학선생이 i가 수학자들의 오만때문에 생겼다 ㅇㅈㄹ했던 기억이 나네...