C={a+bi ; a,b는실수}
R^2={(a,b) a b 실수}
두집합이 일대일대응인건 자명한데
문제는 두개의연산에대해 구조적으로 동일하냐인데
C에서 곱셈을 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bd)i
R^2에서 곱셈을 (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bd)
각각 이렇게정의해서 동형인거에요? (덧셈생략)
이게맞다면 문제는 모든 일대일대응인 두 집합은
연산을 자기맘대로 어떻게든 정의하면 동형이되는거 아닌가요?
그럼 농도(card)만같으면 모두 동형이에요?
R^2={(a,b) a b 실수}
두집합이 일대일대응인건 자명한데
문제는 두개의연산에대해 구조적으로 동일하냐인데
C에서 곱셈을 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bd)i
R^2에서 곱셈을 (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bd)
각각 이렇게정의해서 동형인거에요? (덧셈생략)
이게맞다면 문제는 모든 일대일대응인 두 집합은
연산을 자기맘대로 어떻게든 정의하면 동형이되는거 아닌가요?
그럼 농도(card)만같으면 모두 동형이에요?
어떤 관점에서 동형인질 말해야지
농도만 같으면 연산을 잘 정의해서 동형으로 만들 수 있느냐? 면 맞는 말이긴 한데, 보통 연산까지 합쳐서 복소수라고 부르는거. 아무 말 없이 R^2라고 하면 걔한텐 곱셈이 없잖아.
ㅇㅎ 그렇군요. 복소함수론에서 갑자기 C를 R^2로 정의하길래R^2엔 덧셈이나곱셈이없는데 그냥 단순히 연산을 잘정의해줘서 동형으로 만든건지가 궁금했습니다.
isomorphic하나? 라고 하면 ㅇㅇ
뭐 비슷한 예시로, R에다가 덧셈을 a+b-1, 곱셈을 (a-1)(b-1)+1로 두면 통상적인 R이랑 동형만들수 있지 (R에다가 x를 x+1로 보내는 1:1 대응으로 연산을 pullback해서 만든거)
R2에서 C로 가는 bijective mapping f((a,b))=a+bi 를 생각하시면 isomorphic임을 알 수 있습니다. f가 isomorphism인 것은 직접 확인해세요 - dc App
요것도 vector space로만 isomorphic. R^2는 product가 없으니까.
생각한게 맞음. 몇 백년 전 수학계에서 처음에 실수에서 더 큰 집합으로 확장을 생각했을 때가 실수는 사칙연산이 가능하니까 R^{2}에서 (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d), (a,b)*(c,d)=(ac,bd)로 정의하면 어떨까?라는 생각이었는데 나눗셈에서 딱 막힘. 그래서 덧셈은 그대로 두고, 역연산이 가능한 곱셈을 어떻게 부여하면 가능한거아님? 에서 나온 연산이 행렬곱같은 연산임. 근데 처음 연산은 곱셈에서는 문제가 없으므로 <R>하고 <R>는 대수적측면에서는 다른 공간임.단, (a,b)@(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
오우 ㅋㅋ 추가설명 감사합니다