정사각행렬 A가 대각행렬 D와 similar iff A의 고유벡터로 구성되는 F^n의 기저가 존재를 증명하는 문제인데
풀이 보니까
A가 D와 similar하다는 것은 P^-1AP=D인 가역적인 행렬 P가 존재
β가 F^n의 표준순서기저라 하면 P는 가역적이므로 P=[I]_α^β인 기저 α가 존재라는데 이게 뭔 소리임? P가 가역적이면 무조건 만족함??
좌표변환행렬 이용한 것 같은데..
내가 아는 좌표변환행렬 관련 정리는
β,β'가 두 순서기저라 할 때 Q=[I]_β'^β라 하면 [T]_β' = Q^-1[T]_βQ
이거인데
similar의 정의와 합하면 [T]_β'랑 [T]_β가 유사하다는 결론은 나오지만
이거로부터 A와 B가 similar해서 P^-1AP=B이면 어떤 기저 α에 대해서 P=[I]_α^β이다? 이게 어떻게 도출되지?
즉 A와 B가 유사해서 P^-1AP=B이면 P는 어떤 기저 α에 대해서 좌표변환행렬이다 라는 뜻이잖아
이게 어케 나옴?
일단 그거꼬우면 AP=DP해서 P의 각 열벡터가 고유벡터인걸 알수있는데 가역행렬이니깐 P는 기저가됨. - dc App
음..P가 가역행렬인거랑 기저가되는거랑은 걍 동치라서.. P가 가역행렬이면 어떤변환 P^-1을 통해 표준단위기저를 만들 수 있으니깐. - dc App
베타’가 표준 순서기저, 베타가 고유벡터들의 집합을 순서기저로 채택 Q=P 이면 되겠네. 기저는 독립이니까 det(P)!=0이므로 P^{-1}도 존재하겠고
이거 이렇게 보면 됨? A가 대각행렬 D와 similar해서 P^-1AP=D라 하자. P는 가역적이므로 P의 모든 열은 선형독립이다. α가 P의 모든 열의 집합이라 하면 α는 F^n의 기저이다. β가 F^n의 표준순서기저라 하면 P=[I]_α^β이고 A=[L_A]_β이므로 D=P^-1AP=[I]_β^α[L_A]_β[I]_α^β=[L_A]_α 즉 α는 [L_A]_α가 대각행렬이도록 하는 F^n의 순서기저이므로 A는 대각화가능하다
답장이 늦어서 ㅈㅅ... 근데 기호 [L_A]이 뭔지 잘 모르겠음 ㅠㅜ 대충 맞는거 같음. 순서기저 알파베타에 대해 베타= { (1,0,...,)^t,...,(0,0,...,1)^t } 알파= {v_1,...,v_n} v_i들은 고유벡터이면 P= { v_1 | v_2 | ... | v_n } 에 대해
=>만약 A와D가 유사하다면 P^-1AP=D 즉 AP=PD=DP 이므로 P의 열벡터들은 고유벡터임. (P가 가역이므로 열벡터들은 독립이고 0벡터가 아님, 또한 행렬연산 결과가 F의 원소배(스칼라배) 이므로 열벡터들은 고유벡터임)
<=A의 고유벡터로 순서기저 구성 위의 알파= { v_1, v_2,...,v_n }에 대해 1행n열 열벡터들로 구성된 P= {v_1 | v_2 |...| v_n } 행렬을 보면 열벡터들이 독립(기저) 이므로 detP!=0 이므로 P^-1 존재함. 또한 고유벡터들이므로 AP=DP이므로 P^-1AP=D임.
L_A는 L_A(x)=Ax로 정의되는 left multiplication transformation임 근데 두번째 댓글에서 왜 PD=DP임?