[일반] 연결집합 질문

[익명(175.223)]

정확하고 확실한 풀이는 찾았습니다. 구간 경계선의 일부도 포함하는 구간도 연결집합인걸 보이면 되네요.

근데 축소구간정리가 일단은 교과서에선 상자에서만 성립하는걸로 아는데, 위처럼 감소하는 임의 집합에도 써먹을 수 있는 다른 정리가 있나요?

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[Rudin(222.112)]

Compact set일때는 nested set property 있음

[익명(175.223)]

아 ㅁㅊ 맞다 compact set일때 성질땜에 당연하네요;; - dc App

[ㅇㅇㅇ(23.227)]

근데 c_k (k>1)은 compact set이 아님.

[익명(175.223)]

아..나 멍청하네..그렇네요.. - dc App

[ㅇㅇㅇ(212.103)]

왼쪽에 있는 놈은 경계포함한 디스크, 오른쪽은 경계 미포함 디스크. 각각은 path-connected. 근데 x축의 부분구간 [-1,1]이 포함되니까 왼쪽 디스크의 중심 (-1,0)에서 오른쪽 디스크 중심 (1,0)까지 잇는 연속함수가 있음. 따라서 주어진 집합은 path-connected, therefore connected.

[익명(175.223)]

어 그거 아직 안배웠는데 그런성질이 있나보네요? 호..신기하네 - dc App

[익명(175.223)]

집합 내에 직선만이 아니라(볼록집합이 아니라) 임의의 점 두개를 잇는 경로가 항상 존재한다면 path-connected인거고, 그러면 항상 connected라는건가요? 생각해보니 임의의 path가 connected일테니 당연하네용.. 감사합니다! 그럼 혹시 connected인데 path-connected가 아닌 반례도 있나요? - dc App

[익명(195.206)]

경로가 집합 안에 있어야함. R^n에서는 connected+open이면 path-connected임. connected인데 path-connected가 아닌건 topologist's sine curve라고 검색. 워낙 유명한 반례라 위키 페이지도 있음.

[익명(175.223)]

강력한 툴 배워갑니다!!감사합니당 ㅎㅎ - dc App