기계공학은 재미도 없는데 못하고 ...

아 ㅅㅂ 진짜 기계 너무 싫다.

수학도 못하고 물리도 못하는데 왜 기계과 왔을까?


수학 이야기:

1. 포공 다니는 어떤 (인터넷) 친구가 반례 좀 잡아달라고 한 문제:

"임의의 정사각행렬 A에 대하여 dim C(A^2) = dim C(A)가 성립한다."의 반례 중 하나는 A = [[1, 0, -1], [0, 1, -1], [0, 1, -1]]이다.

2. 오늘 배운 거:

임의의 자연수 n에 대하여 다음 명제들은 모두 동등하다:

ㄱ. n은 소수이다.

ㄴ. n의 양의 약수들의 개수는 2이다.

ㄷ. n의 양의 약수들의 합은 n + 1이다.

3. 망상:

벡터 공간 V가 주어졌다고 하자.

그러면 (∀S⊆V) (span S = ∩ { A ≤ V : S ⊆ A }) ... (1)이 성립한다. /* 여기서 A ≤ V는 A가 V의 부분공간임을 나타낸다. */

그렇다면, 임의의 f : P(V) → P(V)에 대하여, f가 V의 폐포연산자이고 (∀S⊆V) (f(S) ≤ V)를 만족시키면 (2)가 성립한다:

(∀S⊆V) (f(S) = f(span S) ∧ f(S) = span f(S)) ... (2)

증명.

(∀S⊆V) (f(S) ≤ V)를 만족시키고 V의 폐포연산자인 f : P(V) → P(V)에 대하여:

(∀S⊆V) (f(S) ≤ V)이므로, (1)에 의하여 (∀S⊆V) (span S ⊆ f(S))가 성립한다.

S ⊆ V에 대하여:

S ⊆ span S이므로, f의 증가성에 의하여 f(S) ⊆ f(span S)가 성립한다.

span S ⊆ f(S)이므로, f의 증가성에 의하여 f(span S) ⊆ f(f(S))가 성립한다.

이때, f의 멱등성에 의하여 f(span S) ⊆ f(S)가 성립한다.

f(S) ⊆ f(span S) ⊆ f(S)이므로, f(S) = f(span S)임을 알 수 있다.

(1)에 의하여 f(S) ⊆ span f(S)가 성립한다.

f(S) = f(span S)이므로, span f(S) = span f(span S)이다.

f(span S) ⊆ f(f(S))이므로, { A ≤ V : f(f(S)) ⊆ A } ⊆ { A ≤ V : f(span S) ⊆ A }이다.

∩ { A ≤ V : f(span S) ⊆ A } ⊆ ∩ { A ≤ V : f(f(S)) ⊆ A }이므로, (1)에 의하여 span f(span S) ⊆ span f(f(S))이다.

span f(f(S)) ⊆ f(f(f(S)))이므로, f의 멱등성에 의하여 span f(f(S)) ⊆ f(S)이다.

f(S) ⊆ span f(S) ⊆ span f(span S) ⊆ span f(f(S)) ⊆ f(S)이므로, f(S) = span f(S)임을 알 수 있다.

왜 소제목이 망상이냐면,

이걸로 V의 임의의 유한차원 부분공간 W에 대하여 (W^bot)^bot = W임을 증명하려다가,

W mapsto (W^bot)^bot을 폐포연산자로 추상화시킨 다음 저 명제를 이용해 보이는 건 아마 불가능할 거라는 걸 알아버렸기 때문이다.

W mapsto (W^bot)^bot이 갈루아 커넥션이라서 폐포연산자라는 건 알고 있으므로,

(W^bot)^bot ⊆ span W임만 보이면 되는데 결국 다시 원점이기 때문이다.

저 명제의 전건을 만족시키는 놈 중에 f(S) := V for S⊆V도 있는데,

f(W) ⊆ span W를 만족하지 못하는 W가 있다는 사실은 저 정리를 이용해봤자 될 리가 없다는 주장을 뒷받침해준다.

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