1. 물리과의 어떤 사람에게 수학이 필요한가? 


당근 모두한테 필요하지만 물리의 이해에 필요한 수학은 전부 물리과 수업시간에 커버된다.

물리수학을 들으면 선대,미방,복소 등 필요한 툴을 거의 다 깔끔히 배울수있고

대표적인 학부생의 상대론의 미분기하도 단순 이해 및 계산은 그리 어렵지 않기때문에 수업만 들으면 된다

이때 직관에 반한다거나 무슨 말인지 감조차 잘 안잡히는 수학은 아예 없다고 보면 된다.


그럼 어떤 사람이 수학과 학부 수업을 들어야 할까? 하면 

난 i. 증명을 일일히 하지 않고 너머가면 찝찝한 사람 ii. 이론/수리 물리학을 전공할 사람

이라 생각함.


2.  i와 ii의 사람들에겐 어떻게 도움이 될수 있을까?


{i}-{ii}인 사람들에겐 도움이 거의 안되는것 같다.

생각보다 가라수학의 가라 계산은 대체로 맞고,

실험물리를 할때는 애초에 해야되는 계산이 분야에 따라 굉장히 한정된다고 함.

미방이랑 오차 분석만 거의 오지게 한다는듯 한다. 그냥 자기만족으로 듣는거지.


ii.인 사람들에겐 매우 중요한거 같다. 수학적 모델로서 이론물리를 접근하면 굉장히 최신 수학

(특히 미분기하학과 위상수학)이 많이 필요하고 실제로 수학자거나 수학 공부를 많이한 사람들이 하는 분야

positive energy theorem 증명이나 블랙홀 존재 예측 같은건 사실 순수하게 기하적 문제라고 할수있고

수학적 모델링의 힘의  대표적인 예시라 생각함

끈 이론도 시공간은 10차원이고 그중에 6차원 어떤 구조가 주어진 칼라비야우 다양체이고

mirror symmetry라는 심플렉틱스러운 구조의 duality를 통해 연구하고 어쩌구저쩌구 대충 이런 내용이라 함

물론 가라로 수학을 하면서도 훌륭한 업적을 내는 사람이 많은거 같긴한데

이쯤되면 가라로 공부하는게 차근차근 공부하는거보다 훨씬 어렵기 때문에

수학을 차근차근하면 도움이 많이 된다는 얘기


가라로 공부하는게 어렵다는게 무슨 의미냐면...

걍 대충 물리학도를 위한 기하학이라는 제목의 책 아무거나 펼쳐서 읽어보셈ㅇㅇ

애초에 수학적 백그라운드가 없는 사람을 위한 소스가 거의 없다


3. 어떤 수학이 필요한가?


물리의 이론은 기본적으로 수학 구조임

예를 들어 고전역학은 R^3에 있는 입자들과 힘을 나타내는 미방들로 이뤄진 dynamic system이라고 볼수 있는데

정확히 같은 시스템을 hamiltonian이 주어진 symplectic manifold라고도 할수 있음.

상대론은 물질(energy stress tensor)이 주어진pseudo riemannian gemometry 그 자체

즉 특정 물리량이 추가 구조로서 주어진 수학적 공간임


(대표적인 수학적 공간은 

manifold(riemannian, symplectic, pseudo riemannian), Hilbert Space 등이 있음)


내가 아는 한에서 정리해보면 다음 과목들에 다음과 같은 수학이 쓰임


고전역학-symplectic manifolds, poisson manifolds, lie algebra, differential equations

상대론-pseudo-riemannian manifolds

양자역학-Real analysis, functional analysis, operator algebra, lie algebra

양자장론- principal fiber bundles, lie groups, lie algebra


4. 공부 방법


맛보기로는 nakahara나 frankel 같이 물리학도를 위한 책이 미분기하 책이 있음

기본적으로는 그냥 학부 수학 커리큘럼 따라가면 정수론 말고 다 물리에 쓰인다고 생각하면 됨

공부하다보면뭐 공부해야될지 알게 됨