함수의 연속은 한 점에서 함숫값=극한값이면 되자나
근데 연속함수는 구간 내 모든값이 다 연속이면대자나
이걸 어케 증명 함? 모든구간에서 연속인걸 보인적이없는디
다항함수의 연속 증명하는거 교과서에 나온거 보니까
y=x , 상수함수는 실수 전체의 집합에서 연속이고
함수의 극한에 대한 성질에 의해
연속하는 함수의 합 차 곱 실수배도 연속이기때매
모든 다항함수는 연속임을 보일수있다 이러는디
y=x가 (-무한대,무한대) 에서 연속인건 어케 보여
그리고 무한대는 상태를 나타내는 기호이기 때문에 열린구간만 쓸수있는거 맞아??
아 그리고 최대최소의정리 이건 ㅅㅂ ㅈㄴ 당연한말 아님??
아니 닫힌구간에서 연속이면 어딘가엔 최대값 최솟값이 있겠지
괜히 ㅈㄴ 어렵개 써놔서 짜증나게하고있어
lim (x가 a로갈때) x 가 뭐임 - dc App
정의역이지머긴머야
아니 저거 극한값이 뭐냐구 - dc App
연속함수면 a겠지????
x가 a로가는데 왜 x가 딴데로 새냐 - dc App
연속함수가 아니면 극한값만 알수있는거고 극한값이랑 함숫값은 다를수도잇잔아
ㅇㅇ 그건 그런데 y=x 는 항등함수잖아. x가 a로갈때 극한값이 a라는건 그냥 동어반복임. - dc App
머ㅏㄴ소린지이해가안대요
lim(x가 a로 갈 때) f(x)= f(a) 를 증명하려면 "x가 a에 접근함에 따라 f(x)가 f(a)에 접근한다" 를 보여야하는데 f(x)=x 라고 하고 방금전 말에 그대로 대입하면 "x가 a에 접근함에 따라 x가 a에 접근한다" 잖아. 이건 당연히 참이지 "P이면 P이다" 꼴의 명제니까 - dc App
고등학교에선 연속의 정의를 안써놨기때매 걍 그림보고 받아들여야됨
그리고 최대최소의 정리는 생각보다 유용한 정리임. 단적으로 말해서 연속함수는 반드시 닫힌구간[a,b]를 닫힌구간[m,M]으로 보내준다는 정리임. 물론 고등학교에서 유용하진 않겠지만 학교선생님한테 이거 얘기하면 대학수학을 기억하고있는지 아닌지 확인할 수 있음 - dc App
고등학생임? 대학생이면 근방의 개념을 통해설명가능하고 고등학생이면 문자의 대표성 느낌으로 받아들여야함. 적어도 대학교까지 수학은 특히 정의역공역이 실수함수 쪽은 전개방식이 대략 인식의 한계를 정해놓고 여기서는 ok 자 그럼 인식의 한계를 넓혀볼까? 이런식임.
특히 수학자들은 '모든'이라는 기호에 알러지가 있어서 다른 표현을 찾은게 임의의(각각의) 이런 표현임. 예) 우리모두 하나씩은 가지고 있다->한 사람이 하나씩은 가지고 있다.
y=f(x)=x가 정의역에서 연속임을 알고싶어. 정의역이 좁으면 그냥 노가다로 해보면 될터인데 정의역이 무한하잖아? x=1에서 f(1)=1=limx->1 x 자 이제 하나했어. 남은 무한번 어쩔꺼야?
인간은 유한 시간 동안 유한번 밖에 테스트를 못하는데 무한대상으로 테스트를 해야하잖아. 마법의 단어 '임의의'x=a in R에 대해 이렇게 세팅하면 1번만 테스트 한걸로 무한번 테스트 한걸로 인정해주겠다는 거지. (단, 여기서 a의 성질은 모든 구성원이 다 가지고 있는 성질만을 가짐)
고등학교에서 무한은 수가 아니라 상태로 배울걸. 수에서 사용하던 +-×÷를 사용하면 안되고 몇 가지의 경우에 한하여 새롭게 정의하지. 수가 아니라서 (-inf,a), (b,inf), (-inf,inf) 등으로 사용해. 여기서 a,b는 임의의 실수이며 a,b는 대괄호 사용가능
최대최소 정리는 당연해보이지만 중요한 정리야. 정의역이 제한적이라고 해서 치역도 제한적인건 아니거든, y=1/x의 x in (0,1) 또는 y=tanx x in (0,pi/2)등등. 그런데 1. y=f(x)가 연속함수이다. 2. 정의역이 [a,b]이다. (일반적으로 유계집합이면서 닫힌집합이다.)
두 개의 조건을 만족할 때 만큼은 치역도 유계이면서 닫힌집합을 보증한다는 정리거든. 이렇게 인식의 한계를 정해놓은 거지. 고등학교 미분,적분 문제에 심심찮게 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능한 함수에 관하여~~ 이렇게 나올걸? 이런 제한된 조건에서 발동가능한 정리의 사용은 눈감아주겠다는 거야. 아니 써먹으라는 거지.
조심해야할게 치역이 [f(a),f(b)] 이렇게 나올 수도 있지만 그렇지 않을 수도 있다는거 정도?