오일러공식을 검색하면 테일러급수로 증명하는과정이나옵니다.
그 과정에서 의문이드는게
1. 테일러급수는 결국 근삿값 아닌가? 정확히 두 식이 등식으로 일치한다고 할수잇는건가?
2. 증명중에 실수에서 증명된 테일러급수의 e^x의 x에다가 갑자기 복소수인 i세타를 넣어버리는데 지수의 복소수로의 확장도 아직안햇는데넣어버리는건 머하자는건가
사실 정리인경우 두 의문을 해결할수없는것같습니다.
(정리인경우 두의문을 해결해주시면 감사하겠습니다.)
아마 정의일거라고 생각되는데, 즉 오일러공식 자체가 지수의 복소수로의 확장이다. 라고 생각됩니다. (인터넷글 뒤적이며 그렇게느낌)
https://sciphy.tistory.com/m/748
그런데 이상한건 왜 인터넷에치면 대부분이 오일러공식을 테일러급수를이용해서 증명하려고하는지가 이해가안갑니다. 정의그자체를 증명하려한다니.. 차라리 '테일러급수로 증명이 되는것처럼 보이도록 자연스럽게 오일러가 복소지수를 정의했다.'고 하면 납득이 가는데말이죠..
다수의사람인 이들이 틀린걸까요? 아니면 몇몇 소수의 글들과 제가 틀린걸까요(정의라고주장)
혹시 이에대해 잘아시는분이 있으시면 오일러가 왜하필 이렇게 복소지수를 정의했는지 이유가 궁금합니다... 알려주시면감사하겠습니다
그 과정에서 의문이드는게
1. 테일러급수는 결국 근삿값 아닌가? 정확히 두 식이 등식으로 일치한다고 할수잇는건가?
2. 증명중에 실수에서 증명된 테일러급수의 e^x의 x에다가 갑자기 복소수인 i세타를 넣어버리는데 지수의 복소수로의 확장도 아직안햇는데넣어버리는건 머하자는건가
사실 정리인경우 두 의문을 해결할수없는것같습니다.
(정리인경우 두의문을 해결해주시면 감사하겠습니다.)
아마 정의일거라고 생각되는데, 즉 오일러공식 자체가 지수의 복소수로의 확장이다. 라고 생각됩니다. (인터넷글 뒤적이며 그렇게느낌)
https://sciphy.tistory.com/m/748
그런데 이상한건 왜 인터넷에치면 대부분이 오일러공식을 테일러급수를이용해서 증명하려고하는지가 이해가안갑니다. 정의그자체를 증명하려한다니.. 차라리 '테일러급수로 증명이 되는것처럼 보이도록 자연스럽게 오일러가 복소지수를 정의했다.'고 하면 납득이 가는데말이죠..
다수의사람인 이들이 틀린걸까요? 아니면 몇몇 소수의 글들과 제가 틀린걸까요(정의라고주장)
혹시 이에대해 잘아시는분이 있으시면 오일러가 왜하필 이렇게 복소지수를 정의했는지 이유가 궁금합니다... 알려주시면감사하겠습니다
어떻게 받아들이든 상관없는데. analytic function의 경우 테일러급수는 근삿값이 아님. e^z를 복소로 확장하는게 테일러 급수를 이용해서 정의하면 편해서 그렇게 함. 물론 그냥 주먹구구식으로 넣는거는 당연히 틀린거고. 그런데 오일러 공식이 정의라고 생각할 수가 있나? 어디서 그렇게 느껴졌는지 모르겠네.
정리라고 생각하고 테일러로 증명하려면 e^x의 x에 복소수를 대입한다는 새로운 개념이 필요한데 몇개글들에서는 거기서 복소지수를 오일러공식을통해 확장한다고해서 순환논리라고 생각했습니다.
제일 크게느낀건 정의라고하는 링크의 저글을보고 극히 동의해서요
물론 저 글을 읽어보진 않았고,, 인터넷 글을 읽지 말고 complex analysis 책을 읽어 봐라. e^pii=1로 정의를 해서 지수함수를 확장한거라면. 뭐 내맘대로 다 정의하면 그대로 다 되는거냐? 나는 저 값이 2라고 생각하는데? 그러면 2로 놓고 수학을 전개할 수 있냐?
exp를 멱급수를 이용해 잘 정의하고 그게 복소 전체에서 잘 수렴하는 함수임을 보인다. 그리고 sin, cos을 exp를 이용해서 정의한다. 그러면 테일러전개의 유일성에 의해 e^(x+iy)=e^x(cosy+isiny)라는걸 얻을 수 있다. 이게 복소해석에서 배우는 내용들이다.(서울대학교 출판부에서 나온 복소해석 책이 있다. 아직도 파는지는 모르지만.) 물론 이 함수들의 정의역을 실수로 제한했을 때 실함수로서 같으니 의미가 있는거고.
e^pii=-1 쏘리.. 무튼.. 찾아보니 '기초복소해석' 아직 팔고있으니 관심가면 읽어보도록..
넓은관점에서의답변 감사합니다. 아직 좁은제시야로는 저렇게밖에 생각이안됫어요ㅠ 음 아무튼 exp를멱급수로 정의하여 테일러전개를통해 오일러공식이 유도되는 정리라고 생각하면되겠군요
정의가 다른거 아님? e^z를 오일러공식으로 정의하는 방법이 있고 걍 급수로 정의해버리는 방법이 있음
과정을 좀 주의깊게 봐야하는게 1. e^x는 실수에 대해서 잘 정의됨 2. 급수 exp(z) = sum z^n/n!은 복소수에 대해서 잘 정의됨 3. exp는 e^z의 여러 성지을 복소수에 대해서 만족함 4. e^x=exp(x)가 실수 x에 대해서 성립함 5. 따라서 exp(z) = sum ...은 e^x의 자연스러운 확장이며 성질들도 사용가능
즉 결국 같은 놈들이라 볼 수 있으니까 귀찮게 exp(z)를 쓰는 대신 e^z라 써도 무방한거임 이 표기에서 오는 지수함수들의 성질들도 3에서 증명해서 쓸 수 있는거고. 굳이 exp표기를 쓰면서 증명하는 책들은 이런걸 분명히 하려는거고
아~ 급수 exp(z)를 정의해보니까 지수함수의 성질들을 만족하고... z가 실수인경우 e^z=exp(z)만족. 그러므로 exp(z)를 e^z로 써서 확장해도무방. 이군요ㅎㅎ 자세한설명감사합니다~ 제 책이나 인터넷찾아봐도 이런설명을 못찾았어요ㅠ