[일반] 이명제는 참임??다시씀.

[익명(118.235)]

(a,b)에서 도함수가 연속인 함수 f가 x=c에서 극값을 가질때,

(a<c<b)

항상 c를 끝점으로 하는 열린구간 I1,I2가 각각 존재하여

I1에서 f'(x)>0, I2에서 f'(x)<0을 만족한다.

이 명제임.

++

f는 상수함수구간이 존재하지않는다.

- dc official App

[익명(210.183)]

f=0일때 반례

[익명(118.235)]

상수함수구간이 존재하지않는다고 가정하면 그때는 어떻게됨? - dc App

[익명(121.125)]

참

[익명(175.223)]

x=c에서 함수가 local 하게 convex를 이루면 참이네 근데 이거 맞냐?

[익명(23.241)]

참임. 미분 가능한 함수가 연속이면 극값에서 도함수의 값이 0이고 (편의상 x=0에서 극값이 생긴다 하자), 도함수가 연속이라 가정했으니, 결국 보이고자 하는 바는 0의 구멍뚫린 근방이 존재에서 이 근방에서 도함수가 0이 아님을 보이고 싶은거임. (전체가 양수라면 한쪽을 뒤집어도 연속성엔 변함이 없으니 상관없음). 즉, f'^{-1}(0) (도함수의 근의 집합)가 0의 근방에서 조밀하지 않음을 보이고 싶은거. 만약 조밀하다고 가정하면, f'^{-1}(0)은 닫힌집합 {0}의 연속함수 f'하의 역상이므로 닫혀있고, 따라서 이것의 closure는 자기 자신이 되는데, 이는 조밀성에 의해 f'^{-1}(0)가 구간 그 자체라는 의미이므로 가정에 위배됨. 증명 끝