그거 풀이가 너무 궁금한데, 일단 학부 수준에서 풀 수 있긴 문제이기는 하나요?
문제:
A∈C^(n×n)와 B∈C^(n×n)가 주어졌다고 하자.
T(X) := A X - X B for X∈C^(n×n)으로 정의된 선형변환 T : C^(n×n) → C^(n×n)에 대하여 다음 명제가 성립함을 보여라:
임의의 λ∈C에 대하여,
X ≠ O이고 T(X) = λ X인 X∈C^(n×n)가 존재하면,
det(a I - A) = 0이고 det(b I - B) = 0이고 λ = a - b인 a∈C와 b∈C가 존재한다.
단, 여기서 C는 모든 복소수들의 집합이며 n은 1 이상의 자연수이고 O는 영행렬이고 I는 단위행렬이다.
그냥 등식세운다음에 a-b가정하면 (A-Ia)X=X(B-Ib) 인건데 det씌우면 detX=0 or det가 같다는게 나옴.이걸 잘하면 될텐데 밖이라 집가서해봐야겠다. - dc App
제가 논리가 딸려서 틀릴 수도 있는데 그거는 역방향 보이는 거 아닌가요?
역방향맞는데 이렇게해서 두 케이스 중 하나는 무조건 되는데, a의 변화에 따른 변화가 연속적인걸 보이면 될 것 같은데 아니면 각자 가진 고윳값으로 이차이차하면 나올수도있고 - dc App
저도 펜이 없고 대충 상상한거라 확실한건아녜용 일단근데 특성다항식 관점에서 생각해보시면 뭔가 나올것같은느낌임 - dc App
일단 고민해주신 것에 대해 진심으로 감사드리는 바입니다
detX=/0이면 쉬움. 람다=a-b였으니깐 det에 관연한 식은 a,b에 대해서 항등식이 되고, A가 a에서 고윳값을 가지면 이 때 B가 b에서 고윳값을 가진다고 볼 수 있는 상황이 됨. 근데 det X=0일때 잘 안되는데, 되려 더 당연한것같은데 아이디어가 안떠오르네 - dc App
맞습니다. det X != 0이면 B의 고유벡터 v가 존재하여 V x != 0이고 A V x = (b + lambda) V x이니까요. 저도 det X = 0일 때가 문제네요.
Jordan form 안쓰는 풀이가 있을까 좀 고민해봤는데 계수가 C니까 못피할거 같음. 대충만 적으면, 우선 문제에서 lambda=0을 가정해도 일반성을 잃지 않는걸 먼저 보이겠음.
저 명제가 lambda=0에 대해 증명되었다 치면, 일반적인 (A, B, lambda)에 대해선 A, B-lambda I, 0)에서 증명됐다고 하고 그걸 옮기면 됨
해서 문제는 AX=XB이고 X != O이면 A와 B가 common eigenvector를 가짐을 보이면 됨
쏘리 common eigenvalue
예시로 우선 Bv=kv라고 보자. 그러면 식에 의해 AXv= XBv=kXv 가 됨. 즉 v가 B의 Eigenvector면 Xv는 0이거나 같은 eigenvalue를 가지는 eigenvector임
저 선생님 죄송한데요 A X v = X B v인 이유가 뭔가요? 잘 모르겠습니다.
아 머리 박겠습니다
또 우리가 X(B-kI)^m = (A-kI)^m X인것을 암.
Jordan 정리에 의해 Generalized Eigenspace E'(k, B) = v in V : (B-kI)^m v = 0 for some m 은, X에 의해 E'(k, A) 로 옮겨지는데, 이것들중 0이 아닌 애들로 가는 애가 하나라도 있으면 k가 common eigenvalue가 됨
아 앞에는 Jordan이랑 상관없이 위에 관계식으로 성립하고, 이제 진짜 Jordan 정리에 의해 V가 E'(k,B)들의 direct sum으로 쪼개지기 때문에, 각 piece에서 모두 0이면 X도 0이 되는데, 이는 가정에 모순. 따라서 common ev가 있음
바쁜 하루를 마치시고 피곤하실 텐데 풀어주셔서 진심으로 감사드립니다.
A,B가 commute할때 A+B의 고유값들이 A의 고유값과 B의 고유값의 합으로 표시된다는 걸 활용해서 풀어도 될 거 같은데, 그렇게 풀어도 조던폼은 못 피해가고... 조던폼 없이 풀 수 있는 깔쌈한 방법이 있을 법도 한데 도저히 못찾겠다
감사합니다 ^^
조던폼 스펙트럴 정리 같은 거 안쓰고 좀 더 쉽게 푸는 방법 있으면 나도 알고 싶네
근데 학교 시험문제임?? 난이도 죽이네
저희 학교 시험은 아닌데, 그저께 여기에 올라온 시험 문제에요.