원근법때문에 시작한 거라는데
R^3에서 z=1으로 다 자르면
뭔가 2차원평면에 원근법으로 그림그리는거처럼 된다
그리고 z=0일땐 line at infinity? 이런거라고하는데
평행선을 그림으로 그릴땐 끝부분에 만나는거처럼
그려지는거? 이렇게 이해했습니다.
근데 직관적으로 뭘하는건지 잘 모르겠습니다.
입문자가 보기에 직관을 줄 수 있는 좋은 책이나 노트 등등이 있다면
조언 좀 부탁드립니다.
참고로 저는 갈루아까진 대수 공부했고, projective linear group 이런건 선대배울때 안배웟습니다. 또 해석, 복소, 위상도 학부수준까진 공부했습니다. 미기는 배우는 중이긴 한데 애먹고 있습니다...
R^3에서 z=1으로 다 자르면
뭔가 2차원평면에 원근법으로 그림그리는거처럼 된다
그리고 z=0일땐 line at infinity? 이런거라고하는데
평행선을 그림으로 그릴땐 끝부분에 만나는거처럼
그려지는거? 이렇게 이해했습니다.
근데 직관적으로 뭘하는건지 잘 모르겠습니다.
입문자가 보기에 직관을 줄 수 있는 좋은 책이나 노트 등등이 있다면
조언 좀 부탁드립니다.
참고로 저는 갈루아까진 대수 공부했고, projective linear group 이런건 선대배울때 안배웟습니다. 또 해석, 복소, 위상도 학부수준까진 공부했습니다. 미기는 배우는 중이긴 한데 애먹고 있습니다...
Reid의 Undergraduate Algebraic Geometry, Fulton의 Algebraic Curves 등 대수기하 책들을 보면 좋습니다.
대수적으로는 가령 중학교 수학에서 각 일차 방정식 ax+by=c를 나타내는 그래프가 평행할 경우 연립방정식이 근을 갖지 않는다고 배우는데, projective plane으로 넘기면 근을 갖게 됩니다. 평행선이 point at infinity에서 만나니까요. 이걸 확장한게 Bezout's theorem입니다.
또한 projective space는 compact space가 되기 때문에 대수기하에서 여러 좋은 성질을 갖기도 합니다. 위상/기하적으로는 K-theory쪽에서 중요한 대상으로 다뤄요.
Reid 앞부분에서 projectivity?란걸 설명하는데 뭐하는건지 전혀 이해가 안가더라고요. 혹시 설명해주실 수 있으신가요?
R^3의 invertible linear combination으로부터 유도된 함수입니다. 잘 정의되는 이유는 해당 linear transformation이 원점을 지나는 직선을 다시 원점을 지나는 직선으로 보내기 때문입니다.
그리고 R^3의 점 (x,y,z)에 대응되는 equivalence class 혹은 P^2의 점을 [x:y:z]로 표기할 때, 책에서 R^2의 점 (x,y)를 P^2의 점 [x:y:1]와 대응되도록 embedding을 잡고 있습니다. 그리고 M(x,y,1)^t=(A(x,y)^t+B,cx+dy+e)와 대응되는 R^2의 점이 책 중간의 수식입니다.
그럼 M이라는 mapping은 z=1로 잘라서 보던걸 cx+dy+e=1로 바꾸어서 보고 x,y를 적절히 rotation, translation한건가요? 원근법으로 치자면 시점을 변경한건가요?
시점을 변경하는 건 잘 모르겠지만, P^2→P^2 ↑ ↑ R^2 R^2 여기서 위의 함수가 M이고, 아래에서 partially 정의한 함수를 좌표로 써보면 수식대로 되는 거에요
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개인적으로는 대수적 접근보다 기하학적 접근을 먼저 해봐야 한다고 생각함. Hartshorne의 Geometry Euclid and Beyond나 Stillwell의 Four Pillars of Geometry 보면 아주 쉽게 나와있음 (심지어 projectivity의 abstract한 사용도 없이).
Hartshorne의 책에서는 어느 부분을 봐야 하나요? 목차 보니 직접적으로 proj geometry언급된 부분이 안보여서요.