기출문제보면 이거 쓰는게 없던데
그니까 롤의 정리에서 [a,b] 연속 + (a,b) 미분가능
여기서 f(a) 틀리다 f(b) 면
x좌표가 a,b인 함수 f(x) 위의 점 A,B를 지나는 직선 긋고
그 직선의 방정식을 g(x)라고 하면
f(x)-g(x) = h(x) 를 새로 그리면
실근이 a,b 이니깐
f,g 전부 연속 + 미분가능에 h(a)=h(b) 니까 롤의정리 만족
그런데 h는 f-g 엿으니깐
(a,b)에서 f = A,B의 평균변화율 만족하는 c가 적어도 하나 존재한다
이거자나
근데 이거 어디다쓸라고 이렇게 복잡한거를 배움
연속함수단원에서 최대최소정리 배우고
최대최소정리를 롤의정리 증명에 써먹고
롤의정리를 업글한게 평균값정리라는거는 책에 써있어서 알겠음
근데 배우고나니깐 그래서 어쩌라고?? 이런생각밖에안듬
이거 어디다 씀
또 뭐 증명하는데 써먹나..
그냥 미분에 관한 정리라면 평균값 정리를 써먹는게 굉장히 많음 고교 수준에서 찾아보면 로피탈이 있겠다
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그러면 혹시 접선문제에서 원점에서 곡선 f에 그은 접선 기울기 f’(t)= f(t)/t 쓰는것도 평균값정리 쓰는거라고 볼수있어??? 근데 그거는 진짜 그냥 직선기울기 = 접선기울기라 그렇게하는거같던데
그거랑 평균값정리랑 뭔상관임
아무튼 평균변화율 y증분/x증분 이랑 미분계수가 같다고 했잖음
f가 원점을 지나지 않는다면 그 기울기는 f의 평균변화율이 아닌데? 상황이 다름
맞네
평균값정리는 매우 유용한거임. 대표적으로 선형근사. 일반적으로 테일러급수. 등등이 있음. 어떤 함수 y=f(x)를 연구하는데 특별하 x=a에서 함숫값 y=f(a) 근처에서 궁금하다고 하자. 가령 y=sinx/x에서 limx->0 f(x) 가 궁금한거임. 근데 생각보다 f가 복잡하다고 하자. 근데 x=a에서 만큼은 f(a)=g(a)인 더 쉽고
이미 알고 있는 y=g(x)가 있다면 어떨까? 특별히 y=ax+b와 y=f(x)가 x=a에서 같다면 얼마나 계산이 편해질까? y=sinx와 y=x 같은 경우 말이야 (x=0에서)
이 때 f가 x=a의 근방에서 연속이고 미분 가능하다면 x=a 근방에서 만큼은 y=f(x)와 y=f’(a)(x-a) + f(a)가 같다고 할 수 있겠지. x가 a가 아닐 때는 f’(a)=f(x)-f(a) / x-a 라고 할 수 있을거야. x=a근방에서 만큼은 평균값정리를 써먹어도 된다는 거지.
또 평균값정리와 최대최소정리는 우리가 찾고 있는 녀석이 어디 있는지는 모르지만 존재한다는 것을 보증해 줄 수도 있어 특별히 최대최소 정리는 x=a의 닫힌근방에서는 우리가 찾고 있는 녀석의 범위를 확 줄여줄 수 있지.
고등학교나 대학교 1학년 까지만 해도 최대최소정리->롤의 정리->평균값정리는 복잡한 함수를 다항함수 처럼 취급하기 위한 빌드업 정도라고 생각해도 무방할거야.
f(b)=f’(a)(b-a)+f(a)라고 생각한다면 미적분의 기본정리도 생각하기 편하지. a=a1, a2, ... ,an+1=b라고 하면 n->무한 (a2-a1)f(a1=a)+(a3-a2)f(a2)+...+(an+1-an)f(an=b) =F(a2)-F(a1) + F(a3)-F(a2) + ... + F (an)-F(an+1) =F(b)-F(a).
ㅇㅋ 형님 이 평균값 정리로 베르누이의 부등식과 f’(x)=g’(x) 면 f(x)=g(x)+c, 함수의최대최소 정의도 증명햇음 쓸데많앗네
수학적 귀납법에서도 베르누이 부등식 증명하는거 배웟는데 평균값정리 로도 되더라 신기방기 ㅋ
솔직히 고딩이면 테크니컬한 몇몇문제 말고는 쓸일이 별로 없긴 함. 근데 전공에선 'c가 뭔진 모르겠는데 아무튼 존재함'이라는 존재성이 보장된다는 점에서 증명할때 종종 유용하게 쓰임. 바꿔말하면 고딩은 증명할일이 별로 없으니 쓸일이 적은게 맞다