[일반] 미분가능하면 연속이다 질문

[익명(175.223)]

x=a 에서 미분가능하다는것은 lim x -> a  { f(x) - f(a) / x-a } 의 값이 존재한다는것이고 분모가 0으로 가니까 lim x->a { f(x) - f(a) } = 0 이어서 f(a) = lim x->a  f(x) 니까 미분가능하면 연속이다 이건데 애초에 저 결론이 극한찢을때 각각이 수렴할때 찢는건데 lim x->a  f(x) 가 수렴하는지 모르니까 안되는거 아님 ? 아니면은 x랑 관계없는 상수는 그낭 극한식 밖으로 나올수있는거 ?

[lp(yyi050324)]

g(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)로 놓으면 g(x)랑 x-a는 전부 x=a에서 수렴하니까 극한의 성질이 f(x)-f(a)=g(x)(x-a)가 x=a에서 수렴하고 그 수렴값이 0이라는걸 말해주지

[익명(125.209)]

위에님처럼 g(x)를잡으면 g(x)의극한은 L이라하고 (x-a)의극한은 0임이 자명하고, 수렴하는 두 극한의성질에 의해 f(x)-f(a) 의 극한은 L x0=0임을 알게된다. 유사한논리로 f(x)-f(a)의 극한은 0 이고상수 f(a)의극한은 f(a)이므로 극한을더하면 f(x)의 극한이 f(a)임을 알게된다.

[ㅁㄴㅇㄹ(185.25)]

왜자꾸 자명한걸 쳐물어보냐. |f(x)-f(y)|\leq |f'(x)||x-y| when $x,y$ are sufficiently close.

[ㅁㄴㅇㄹ(185.25)]

There exists epsilon\in C^0(R) such that|f(x)-f(y)|=|f'(x)||x-y|+epsilon(|x-y|) and epsilon(|x-y|)\rightarrow 0 as |x-y|\rightarrow 0.

[ㅁㄴㅇㄹ(185.25)]

이게 낫겟네