1. 삼차방정식은 적어도 하나의 실근을 갖는다 이유는??

2. 삼차방정식의 실근의 최대 갯수는 3개

   사차방정식의 실근의 최대 갯수는 4개

    n차방정식의 실근의 최대 갯수는 n개임이 알려져있다

이를 도함수의 활용에서 배운 내용으로 설명해보자


1번

삼차방정식 ax^3+bx^2+cx+d=0 는

y=f(x) , y=0 으로 쪼갤수가 있다

이때 최고차항의개수 a>0 이면

x->무한대 일때 f(x)는 양의 무한대로 발산

x->-무한대 일때 f(x)는 음의 무한대로 발산하고

f(x)는 다항함수니까 실수전체에서 연속이다

그래서 사잇값의정리에 의해서 f(x)는 실수 전체의 집합을 치역으로 가져야 한다

따라서 f(x)=0인 x좌표가 적어도 하나 존재한다


2번

삼차방정식을 y=f(x) , y=0 으로 쪼개면

f’(x)가 서로 다른 두 실근을 가질때

그 실근 두개가 f(x)의 극값이 되고

극값의 부호가 서로 다를때 실근을 3개가진다

사차방정식도 똑같이 하면 f’(x)가 서로 다른 세 실근을 가질때

극댓값과 극솟값 부호가 서로 다르면 서로다른네실근을가진다

결국에 극값의 갯수 +1 = 실근 갯수의 최댓값이라

n차방정식도 극값이 n-1개 있고 극댓값 극솟값 부호가 서로 다를때

실근 갯수가 n개 생긴다