[일반] 정수론에서 쓰는 논리는 2차 논리인가요?

[기괴공학도(mecheng98)]

Well-Ordering Principle같은 경우는 

모든 집합에 대하여 어떠하다고 말하는 명제이니까

술어에 양화사가 붙었기 때문에 2차 논리죠?

1차 논리로는 Well-Ordering Principle을 다룰 수 없나요?

[익명(1.224)]

일차논리 이차논리가 뭔지 모르시는거 같은데... - dc App

[기괴공학도(mecheng98)]

네 맞습니다

[기괴공학도(mecheng98)]

질문 자체가 말이 안 되나요? 만약 그렇다면 왜인가요?

[ㅁㅁ(111.239)]

그게 1차산술에서도 귀납법이랑 well-ordering principle이란 건 있는데, 그냥 산술적으로 표현가능한(숫자 s + ✕ ^ ≤ = 랑 논리기호 가지고 표현가능한) 술어에만 한정해서 적용될 뿐이에요.

[ㅁㅁ(111.239)]

즉 1차산술은 귀납법이 공리 하나 아니라 특정 "패턴"을 가지고 있는 무한개의 공리로 이루어져있는거고, 2차산술은 술어 양화사를 써서 그걸 하나의 공리로 나타내는 거고

[ㅁㅁ(111.239)]

ZFC 보면 axiom schema of replacement라고 있잖아요 schema가 바로 패턴이라는 뜻임. 비슷하게 1차산술 PA에도 귀납법은 induction scheme.

[기괴공학도(mecheng98)]

그렇다면 1차산술의 공리꼴은 가산 개의 술어를 커버하는데 술어 양화사는 비가산개의 술어를 커버하겠군요

[기괴공학도(mecheng98)]

아닌가요?? 죄송합니다...

[ㅁㅁ(111.239)]

뭐 대애애충 말하면 그런느낌이죠.

[ㅁㅁ(111.239)]

더 깊게 파고들면 논리학의 언어 자체가 가산인지라 '비가산개 술어를 커버한다'는 썩 정확하지 않고, 2차논리나 심지어는 ZFC마저 싹다 가산일지도 모른다는 Skolem paradox 같은거도 있는데.. 이정도까지 논의가 필요하면 이미 논리학 고인물이라는 얘기라.

[ㅁㅁ(111.239)]

정수론서 허구한날 임의의 무한수열 a_1,a_2,... 같은거 잡고 그러면 그땐 2차논리가 필요한데, 유한수열만 다룰 경우나 수열을 귀납적으로 정의하는 경우는 괴델수 잘 비벼서 1차논리로도 가능해요. 귀찮아서 2차논리 쓰는 경우가 많을뿐.

[기괴공학도(mecheng98)]

답변해주셔서 정말 감사드립니다. 복 많이 받으세요.