[일반] 리만가설이랑 대수기하는 왜 엮이는거?

[익명(1.229)]

리만가설 그거 해석적 수론 문제 아니냐?

[ㅇㅅㅇ(223.38)]

리만가설의 유한체 위 대수다양체 버전인 베유 추측은 이미 증명이 되어서, 리만가설도 대수기하학적으로 해석해서 비슷한 테크닉을 사용해 풀려는 시도가 꾸준히 있음. 물론 성공한건 없지만 제타함수나 L함수 같은 오브젝트들의 대수기하학적 해석이라던가는 꽤 연구되어 있음

[익명(183.101)]

해석적 수론, 그러니까 복소해석학을 사용해서 정수론 문제를 푸는 방법 자체가 사실 20세기 초에 거의 사장되었습니다. 물론 최근에도 성과가 없는 건 아니지만, 현재 정수론의 주류는 산술기하나 갈루아 표현론을 이용한 방법론입니다.

[익명(183.101)]

또한 리만 제타함수의 경우 여러 zeta function과 L-function의 특별한 경우로 취급합니다. 각 경우마다 리만가설과 비슷한 문제를 생각할 수 있고, finite field 위의 Riemann hypothesis라 할 수 있는 Weil conjecture는 대수기하에서 다루는 Etale cohomology를 이용하여 Deligne가 풀었습니다.