[일반] 미분문제 질문 하나만 할게

[건전여우(lustyfox2nd)]

여기서 (3)번 문제를 수학적 귀납법으로 풀으려고 저게 n일때 성립한다고 가정했을때, 양변을 2번 미분하고 0을 넣으면

이렇게 나오는데 맨 처음 식에 n+1을 넣으면

(여기서 n+k+2승이라서 그냥 n+k승으로 씀)

이렇게 나와서 이걸 어떻게 조작해줘야하나 좀 고민이야

어떻게 해줘야 저걸 저 꼴으로 만들어줄 수 있을까?

[익명(39.7)]

수학갤 가서 겜창인생 검색

[건전여우(lustyfox2nd)]

그분 아직 이 문제 손을 안댄건지 질문 안하고 풀은건지 어쨌건 없음...

[익명(39.7)]

함수이ㅣ 연속뮤ㅓ시기가 이거 어님?

[건전여우(lustyfox2nd)]

그거 아니에요

[익명(23.227)]

a_{2n+2}는 x에 대한 함수가 아닌데 뭘 양변을 두변 미분해. 만약 미분하면 양쪽 다 상수니까 0나오지.

[건전여우(lustyfox2nd)]

너무 대충써서 그랬나보네요 좀 더 풀어쓰겠음;

[건전여우(lustyfox2nd)]

그니까 원래 함수 f(x)=sec x에 대해서 2n번 미분한 값에 0을 넣은게 a_2n이니까, f(x)를 2n+2번 미분하고 0을 넣은 값이라는 표현을 저렇게 쓴거였음

[익명(23.227)]

f(x)를 2n+2번 미분하고 0을 넣은 값을 알면 애당초 증명을 왜 하겠음?

[건전여우(lustyfox2nd)]

그렇네; 그럼 어떻게 풀어야하나...

[익명(110.70)]

풀어보진 않았는데 n=1 넣으니까 식이 틀린거같아

[건전여우(lustyfox2nd)]

이야 그러네... 접근부터 잘못하고 있었네 왜 이걸 체크 안했지... 지적 감사

[익명(110.70)]

근데 sec x 미분할때 규칙을 잘보면 a_2n=1•3•5•…•(2n-1) 아냐? 도움될까 하고 써봄

[건전여우(lustyfox2nd)]

a_2 = 1, a_4 = 5, a_6 = 61이니까 아마 아닐듯?

[익명(23.227)]

교수가 분모 (2n)!을 빼먹은듯.

[건전여우(lustyfox2nd)]

ㄴㄴ 저 (3)에 나온 공식으로 뽑아낸게 아니라 내가 sec x를 6번 미분해서 계산한 값임. 아니면 내가 미분을 잘못했나?

[익명(110.70)]

내생각에도 문제 오류임

[익명(92.38)]

계산한 값 자체는 맞는데? 짝수에 대해서만 계수가 존재하고 테일러 다항식의 계수로 만들때는 n!로 나누는거 맞으니. 그리고 내가 지금 처음 3개 해봤는데 식 맞음.

[건전여우(lustyfox2nd)]

댓글보고 한번 울프람알파 돌려봤는데 n=4까진 식이 맞음.

[익명(185.245)]

먼저 sec(x)의 2n계 도함수가 c_(2n) sec^(2n+1)(x) + c_(2n-1)sec^(2n-1)(x)tan^(2)(x) + ... 의 꼴임을 증명한다. 그럼 a_(2n)의 값은 c_(2n)이 된다. 이 식을 두번 미분하면 tan(x)없이 sec(x)만으로 이루어진 항들은 어디와 어디에서 오는지 잘 생각해보면 됨.

[건전여우(lustyfox2nd)]

와우; 감사합니다