[일반] 대칭군 문제 질문

[익명(180.70)]

여기서 N이 정규부분군임을 보이는 건 normality test로 노가다해서 구해야 함? 뒤부분은 커널이 N이고 치역이 S_3인 homomorphism을 만들면 될 거 같긴 한데 어떻게 만들어야될지 모르겠음

현대대수 개새끼

[익명(220.117)]

Transposition은 바꾸는것들의 index가 안 겹치면 교환법칙이 성립하잖아.

[익명(180.70)]

아 그렇군

[익명(180.70)]

근데 그걸로 normality를 어떻게 보임?

[익명(220.117)]

S4의 임의의 원소에 대해 transposition(index안 겹치는거) 를 하는 행위가 오른쪽에 붙던 왼쪽에 붙던 같음을 증명하면 되겠지. 한번 해보삼. 잘 될거 같은데?

[익명(180.70)]

아 하나도 모르겠다 현대대수 왜 들었지

[익명(175.223)]

어차피 S4가 transposition들로 generate되고 원소들이 다 대칭이니까 그냥 (1 2)N=N(1 2)인가만 따져주면 됨

[익명(175.223)]

아니면 직접 homomorphism 잡을 수도 있음 (1 2 3 4 / a b c d)로 표시할때 여기에 (4 d)를 포함한 N의 원소를 곱하면 (1 2 3 4 / a' b' c' 4)가 될텐데 그러면 이게 (1 2 3 / a' b' c')로 간다고 생각하면 됨 kernel은 당연히 N이 될테고

[익명(210.179)]

이경우는 내생각에 효과적인 방법이 없음. 노가다를 줄일수 있는 방법만 어느정도 있음. S4의 generator가 (1234)와 (12)이므로 이 2개만 이용해서 normality를 체크해도 충분함.

[익명(210.179)]

더불어서 주어진 N이 V4라는것을 눈치채면 더 편함. V4의 generator는 1이 아닌거 아무거나 2개이므로 (1234)와 (12)를 V4의 generator랑 붙여서 체크하면 됨 따라서 총 4가지 경우밖에 안나옴

[익명(180.70)]

위키백과 찾아보니까 V4의 표현방법은 여러개고 그것들은 다 같은 게 아니라는데

[익명(210.179)]

뭔소린지 모르겠는데 어디 읽은거임

[익명(180.70)]

https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_four-group

[익명(210.179)]

니가읽은 문장을 긁어서 댓글을 달아

[익명(210.179)]

내가생각하기엔 니가 해석을 잘못하고 있는거 같음

[익명(210.179)]

뒷문제는 오더가 6인 비가환군이 S3밖에 없음을 이용하면 쉽게풀릴듯. 근데이걸 모르면 당장은 노가다 밖에 안보인다

[익명(210.179)]

한가지더 생각해봤는데 S4를 N에 left multi로 group action하면 coset 6개의 치환들이 나오는데 이게 결국 고정된 3개만 돌리면(?) S3가 되는듯. 근데 이렇게 푸는게 더 어려울거 같다..

[익명(183.101)]

left multiplication으로 연산주면 닫혀있지 않아서 action이 안 됩니다. left coset들의 집합에 action을 줄 수는 있습니다.

[익명(210.179)]

coset에 준다는 의미였음 내가 정보를 누락했네

[익명(117.111)]

σ(i_1,…,i_r)σ^-1 =(σ(i_1),…,σ(i_r)) 이라는 공식을 쓰면 conjugation이 r-cycle을 r-cycle로 보냅니다. 주어진 N은 identity랑 (2,2)-cycle들 전부 다 모은 거니까 conjugation에 대해 닫혀 있습니다.