[일반] 대수 질문점

[12212(211.44)]

finitely generated torsion module over pid 가 prime p에 대해 p^n x m = 0 을 만족하는 m들 module로 decompose 되자너
여기서 finitely generated 없어도 성립하는 거 맞지??

[lp(yyi050324)]

왠지 Q/Z같은거 생각하면 안될것 같지 않냐

[ㄴㄴㅇㄷ(211.44)]

안됨?? 증명과정 똑같이 하면 되지 않나...

[ㄴㄴㅇㄷ(211.44)]

module M의 원소 m을 뽑으면 rm=0 for some r in pid A 이고 그 r을 소수들의 곱으로 쪼개면 되는 거 아녀??

[익명(117.111)]

Q/Z의 subgroup인 Z[1/p]를 생각해봐도 질문의 반례가 됩니다.

[ㄴㄴㅇㄷ(211.44)]

Z[1/p]가 뭔가요??

[익명(183.101)]

아 Z[1/p]/Z로 써야겠네요. 분모가 p^r꼴인 유리수들만 모은 subgroup에다, 정수들은 0이 되도록 factor해준 거요.

[ㄴㄴㅇㄷ(211.44)]

그것들도 결국엔 p의 power 곱해주면 0 되니까 되는 거 아닌가요?

[익명(183.101)]

Z/p^rZ꼴들의 subgroup이 있는 건 맞지만 쟤들의 direct sum이 되는 건 아닙니다. 요게 포인트에요.

[ㄴㄴㅇㄷ(211.44)]

아 말을 이상하게 했네요... M(p) := {m : p^n x m = 0 for some n} 이라고 정의하고 M = sum M(p) over p in A 이렇게 direct sum으로 나타낼 수 있냐는 말이었어요.

[익명(183.101)]

Z[1/p]/Z 자체가 그런 M(p)랑 똑같이 생긴 건데, 애초에 본문의 정리 statement가 모호하네요. R이 PID일 때 finitely generated R-module은 R/I꼴들의 R-module들의 direct sum이 되어야 합니다.