[일반] 파투의 보조정리 질문입니다

[ㅇㅇㅇ(58.121)]

파투의 보조정리에서 

lim inf ∫fn < ∫liminf fn

에서 lim inf 를 lim sup로 바꿔도 성립하는가?에서..

증명을 봤을때 단조수렴정리로 증가하는 함수로 만들어줘서 단조수렴정리를 쓰니깐..

안될것같은데 왜 안되는지 반례 알려줄사람? ㅠ 

[lp(yyi050324)]

f_n이 다른 nonnegative L1 function f로 bound 된다면 f-f_n에다가 Fatou lemma 적용했을때 반대방향 부등식이 나오지 않을까?

[익명(119.203)]

L1 bounded일 필요도 없지 않음? 어차피 extended real set에서는 모든 단조 수열이 bounded되어 있는데.

[lp(yyi050324)]

아 extende real이면 것도 상관 없겠네 ㅇㅇ

[익명(119.203)]

X=R, limsup f_n=f 라고 하자. (보렐 집합이니, 가측 함수의 수열이니 같은 그 외 조건들은 다 같음.) 부등호 방향이 ＜인 경우 반례 : f_n(x)=1 (n<x f_n(x)=f(x) f_n(x)=1, f(x)=0>인 경우 limsup integral f_n(x)>limsup integral f(x) 그 반대의 경우도 성립하는 걸로 알고 있음.

[ㅇㅇㅇ(58.121)]

반례 써주신거.. 무슨 함수인지 잘 모르겠어요... 등호가 어디까지인지..?

[ㅇㅇㅇ(58.121)]

등호가 아니라 괄호