[일반] 테일러급수 하나 질문합니다

[123(61.98)]

xcos(1/x)의 x->0일 때 극한을 구하라고 하면

cos가 -1, 1 사이이니 답은 0이 나오잖아요

근데 cosx=1-x^2/2+...이므로 cos(1/x)=1-1/2x^2+...고 그러면 xcos(1/x)의 극한은 존재하지 않는다고 나오는데요

제가 뭘 잘못 생각한 거죠? 뭘 놓치고 있는 건지 잘 모르겠네요..

[ㅅㄲㅁㅇ(borwein)]

cos x 의 테일러급수의 수렴반경이 무한대라고해서 그 무한대의 극한을 x->inf로 대체할 수는 없음. e^-x나 e^-x^2을 생각해봐

[123(61.98)]

그 무한대의 극한을 x-inf로 대체할 수 없다는 게 무슨 말임? 이해 못 함..

[ㅅㄲㅁㅇ(borwein)]

음 더 명확히 쓰면, 글에서 적은 테일러급수도 x->0이면 0으로 가는게 맞음. 하지만 0으로 가지 않는다고 생각하는 이유는 1/x항 들의 합의 꼴이고 이들의 유한합(혹은 각 항은) 수렴하지 않기 때문임. 즉 x가 일반적인 실수면 테일러 급수는 유한합의 극한으로 이해되지만 무한대로 갈때(혹은 1/x가 있고 0으로 갈때)는 무한합의 극한으로 생각해야함

[ㅅㄲㅁㅇ(borwein)]

즉 (유한합의 n극한)의 x극한으로 생각해야지 (유한합의 x극한)의 n극한으로 생각할 수 없단 얘기임. 정리하고보니 극한 순서의 문제네

[123(61.98)]

ㅇㅎ 그러니까 원래는 n에 대한 극한을 먼저 취하고(테일러 급수) x에 대한 극한을 취해야 하는데(x->0) 나는 x->0인 극한을 먼저 생각해서 틀렸다는 거지? n->inf, x->0 순서로 가면 걍 원래 정답대로 답이 0 나오고

[ㅅㄲㅁㅇ(borwein)]

ㅇㅇ

[123(61.98)]

오 이해감 ㄳㄳ

[ㄱㅇㄴ(119.196)]

그냥 저 극한이 존재하지 않는다고 할 근거가 없는것 같은데.. 맘대로 각 항에서 x->0해놓고 안된다고 하고있는거 아님?

[123(61.98)]

ㅇㅇ 분모에 x가 있으니까 극한이 존재 안 한다고 판정한 건데.. 이런 접근 자체가 틀린 거?