p be a prime and p can not divide integer a
a^(p-1) congruent to 1 (mod p)
pf.) a, 2a, 3a, ..., (p-1)a
None of these numbers is congruent modulo p to any other, nor is any congruent to zero.
ra = sa (mod p) 1 ≤ p ＜ s ≤ p-1
then a could be canceled to giver r = s (mod p), which is impossible. Therefore, the previous set of integers must be congruent modulo p to 1, 2, 3, ..., p-1, taken in some order. Multiplying all these congruences together, we find that
a*2a*3a*...*(p-1)*a = 1*2*3*...*(p-1) (mod p)
whence
a^(p-1) *(p-1)! = (p-1)! (mod p)
밑줄 친 부분이 이해가 안됩니다...흑
a, 2a, 3a ,4a 이런애들이랑 mod p 에서 콘그루언트 하게 하는 정수들 중에서 표현을 할때 p 보다 작은 정수로 하고자 하면 1, 2, 3, 4, ..., p-1 을 가져다 쓰는거구나
사실 p 보다 큰 정수를 써도 되기는 하는거였구나
이해했다.
앞에서 ra와 sa가 mod p로 같으면 r과 s가 mod p에 대해서 같음을 보였음. 이것의 대우는 r과 s가 mod p에 대해 다르면 ra와 sa가 mod p에 대해 다르다는 것. 따라서 1,2,...,p-1은 mod p에 대해 서로 다르므로 각각에 a를 곱해도 mod p에 대해 서로 다른 p-1개의 나머지를 가져야함.
a가 1인경우에는 무조건 동일한 정수 i 에대해서 i = i (mod p) 밖에 안되는거네요 a ＞ 1 인 경우에는 a*i = j (mod p) 이고 i , j ＜ p 이고 i와 j 의 갯수는 같고!
수정 : 유니크한 i, j ＜ p