이 글을 작성하게 된 계기는 두 가지야.


1. 예전 과외학생이 물어본 문제 : 5의 루트2승은 어떻게 정의되고, 어떻게 계산할 수 있는가? (미적분 없이!)

2. 수학갤에 올라온 다음 글 (글삭튀가 두려워서 캡쳐해왔다)

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여기서도 2번의 글의 두 번째 질문에 대해서 yes or no로 답을 하자면 답은 no야.

아니 지금 ln과 exp를 배우고 있는게 그걸 사용하지 않고 어쩌자는거야?

하지만 여기에 의문을 가져보는 것은 굉장히 훌륭한 태도다. 내가 고등학교 땐 별 생각 없이 넘어갔거든.

일단 2번 문제를 답해보고, 1번에 대해서도 부분적인 답을 내놓는 것이 이 글을 쓰는 목표다.


일단 우리는 유리수인 x^r에 대해서 x^r이 어떻게 정의되는가를 알고 있고, 미분도 할 수 있다.

r=m/n라고 하고 u = x^r이라고 하면 u^n = x^m이라고 놓고 양변을 미분하면 원하는 결과를 얻는다.

그럼 r이 모든 실수(무리수인 경우를 포함하는 경우)인 경우에는 어떻게 해야할까?


lnx = ∫_1 to x (1/t) dt로 정의하면 즉시 나오는 성질이 d(lnx)/dx = 1/x이다.

이 성질과 역함수 미분법을 사용하면 e^x = lnx의 역함수로 정의했을 때, d(e^x)/dx = e^x임을 보일 수 있다.


문제에 대한 답을 주자면, x^r = e^(r lnx)로 정의하고 합성함수 미분하면 끝이다. 허무하지?

그런데 ln이랑 exp의 '정의만' 사용해서 유도할 수 있는 내용이고 실제로 이렇게 하는게 맞다.

이걸로 2번 문제에 대한 이야기는 끝.



그럼 1번 질문으로 돌아가보자. 5의 √2승도 당연히 e^(√2 ln5)로 때려박으면 끝이지만.. 미적분 없이?

ln을 정의할 때 미적분이 들어갔으므로 당연히 이 정의는 망했다는 것을 알 수 있다.

하지만 뭐 대학교 미적분학이나 해석학까지 갈 것도 없이 고등학교 교과서만 봐도 할 수 있긴 하다.


다음과 같은 수열을 생각하자. a_n = [√2 * 10^n]/10^n ([x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수)

그러면 이 수열은 루트2를 소수점(솟수라고 써야하나?) n번째 자리까지 계산한 값이다.

5의 유리수승은 잘 정의되어있다고 치고(꼬우면 루딘 PMA 1챕터를 봐라!) 5^{a_n}을 생각하면..

5^1.4, 5^1.41, 5^1.414, ... 같은 수열이 나오겠지. 이 놈의 극한을 5^√2라고 정의하면 된다.


왜 수열을 굳이 저렇게 잡았냐고 하면, 모든 실수에 대해서 잡을 수 있는 '증가'수열이기 때문이다.

해석학, 아니 미적분학만 배워도 위로 유계인 증가수열은 수렴을 하기 때문에.. 하 고등학교 수준으로 안 되네.

결국 이걸 미적분 안 쓰고 다루려면 완비성과 해석학에 관련된 내용이 필수적으로 등장하게.. 될까?


1번의 다음 문제로 넘어가면 이걸 실질적으로 어떻게 계산을 하냐로 넘어간다.

우리는 당연히 a_n에서 n을 존나게 늘리면 저기에 가까워진다는걸 알지만, 오차의 한계라는게 있잖냐.

내가 한 방법은... 귀차니즘에 쩔어있는 방법인데 다음과 같다.


5^√2 - 5^{a_n}

≤ 5^{a_n + 10^{-n}} - 5^{a_n} (a_n에 10^{-n}을 더하면 루트2보다 커진다)

≤ 5^{a_n} ( 5^{10^{-n}} - 1)

≤ 5^{a_n} ( 5^{1/n} - 1)

≤ 25 (4/n) -> 여기서 5 ≤ (1+4/n)^n을 이항정리로 전개해서 보임.

= 100/n


따라서 5^√2을 오차 1/N 이하로 구하고 싶으면 5^{a_100N}을 계산하면 된다. 끝.

물론 과외학생은 님 뭐하셈? 이라고 말하고 제대로 이해하지 못했다. 미안하다. 대충 쓴 글이라 태클 환영한다.