[일반] 위상수학 두 문제 질문합니다.

[겜창인생(112.149)]

5번은 곱공간 X x Y의 곱위상은 X의 모든 원소가 X위상에서 하나의 원소로 존재해야, (Y도 마찬가지고)
X의 위상의 원소들과 Y의 위상의 원소들의 카르테시안 곱에서 X x Y의 이산위상이 나올 수 있는 것 아닌가요?
일반성을 잃지 않고 X의 어떤 원소 x_a가 홀원소위상으로 존재하지 못할 때, (x_a,y_i) (y_i는 Y의 임의의 홀원소위상)같은 꼴이 나올 수 없으니까요.
이런식으로 쓰면 감점먹을것 같은데 증명의 방향을 알고싶습니다. 어떻게 시작해서 뭘 보여야 하는지 모르겠습니다;

6번도 마찬가지로 X, Y가 제2가산공간이라 각각 m개의 원소를 가진 기저B1, n개의 원소를 가진 기저B2로 표현이 가능한 공간일 때

곱공간도 mn개의 원소를 가진 기저 B1 x B2로 표현이 가능한 공간이 되니 제2가산공간 아닌가요?

이것도 어떤식으로 증명과정을 나타내는게 좋을지 질문합니다.

[익명(147.47)]

5. 임의의 x \in X, y \in Y에 대해 {(x,y)}가 X×Y에서 열려있으므로 X에서 열린 U, Y에서 열린 V가 존재해서 U×V \subset {(x,y)}. 자연히 U={x} & V={y}일 수밖에 없고 {x}는 X에서 열려있음 (또 {y}는 Y에서 열려있음). x, y를 임의로 골랐으므로 X, Y의 위상은 이산

[익명(147.47)]

6. X의 셀 수 있는 기저 B, Y의 셀 수 있는 기저 C를 잡으면 B×C는 X×Y의 기저임. 셀 수 있는 집합들의 곱은 셀 수 있음

[겜창인생(112.149)]

6번을 어떻게 체계적으로 작성할 수 있을지 감이 안와요 ㅠ

[익명(222.112)]

내 생각엔 이미 충분히 체계적인데... 셀수있는 집합의 곱이 왜 셀수있는지는 기초적인 집합론이나 해석학에서 다뤘을법한 내용이고.. 증명 모르면 다른책에서 베껴다 쓰면 될거같아요 ㅋㅋ

[익명(147.46)]

5. product Topology 정의가 open set = union of (open set in X) x (open set in Y)니까 당연하지 않음?

[겜창인생(112.149)]

근데 이거 귀띔받았는데 X가 이산위상이 아닌 일반적인 위상공간이고 Y가 empty set이면 X x Y가 empty set이 이산위상을 만족해서 반례가 나오네요

[익명(147.46)]

그런 pethological한 경우는 당연히 제외하고 생각해야지

[익명(147.46)]

pathological

[익명(147.46)]

6. 은 너무 당연하고