경제학과에서 복전하고 있는데 그냥 달달 외우고 있으려니 너무 어렵네요..
몇개 질문 좀 드리고 싶습니다.
참/거짓을 판별해야 하는 문제들인데 제가 판단한 게 맞는지 확인 좀 부탁드립니다...
- "A가 위로 유계인 집합일 때, A의 상계들의 집합을 A'라하면 A'은 최소값을 갖고 supA=minA'이다."
이거는 참인 거 같습니다.
- 유리수 집합 Q의 부분집합 A가 위로 유계이면 A의 최소상계는 유리수이다.
이거는 거짓인 것 같습니다. 가령 A={r in Q | r>0, r^2<2} 이런 집합이면 A는 Q의 부분집합이고 위로 유계이지만 최소상게는 sqrt(2)이니까요.
- limsup a_n=a in R 일 때, 임의의 양수 epsilon>0에 대해 n>=n_0 이면 a_n>a-epsilon이 되는 자연수가 n_0가 존재한다.
이 말은 교과서 정리에서 본 말이랑 표현이 달라서 조금 혼란스러운데...우선 틀린 것 같습니다.
교과서 정리에서 limsup s_n=b의 필요충분 조건 중 하나가 for every epsilon>0, given n in N, there exists k in N with k>=n s.t s_n>b-epsilon 으로 돼있습니다.
이 말이랑 약간 다른 말인 거 같은데.. 확신이 서질 않습니다
부탁드리겠습니다 ㅠㅠㅠㅠ
"A가 위로 유계인 집합일 때, A의 상계들의 집합을 A'라하면 A'은 최소값을 갖고 supA=minA'이다." 이거는 참인 거 같습니다.
1212가 참이라는거 보니까 거짓인가보네
참 맞는데
A의 상계들의 집합이네 잘못봤다
공집합을 들고오면?
A가 공집합일 때 거짓이라는 말씀이신 건가요?
실수의 부분집합으로 공집합인 A를 잡으면 임의의 실수는 A의 상계가 되니까 A'은 실수전체집합이 되는데 실수전체집합은 최소값이 없음
애초에 위로 유계 정의가 nonempty set 가지고 시작하는데 반례를 공집합을 드네ㅋㅋ
아 그랬었나? 해석책은 2학년때 보고 다시본적이 없이서
보니까 책마다 다른듯 학교책보고 판단하셈
inf sup이 무한값도 가지면 공집합도 포함하던데 해개에선 안그러나?
그런데 A가 위로 유계인 집합인데 공집합을 위로 유계인 집합이라고 볼 수 있는 건가요..?
Vacuously true
일단 수업에서 유계를 정의할때 공집합은 빼고 정의했는지를 잘 찾아봐야할듯?
bounded를 정의할 때는 실수 전체의 집합 중 임의의 부분집합으로 뒀는데 supremum을 정의할 때는 실수 집합의 nonempty subset으로 정의를 했는데..
이러면 A가 공집합일때 거짓이지
전부 거짓인거 같고, 3번 책의 정의는 s_n>b-epsilon이 아니라 s_k>b-epsilon아님?
아아 맞습니다.. 제가 잘못적었네요.. 첫번째 건 왜 거짓인가요?
3번은 다시보니 참인듯
왜 3번이 참인거죠..?
아 부등호 반대로 봤네 거짓이 맞음
거짓인 이유 설명하라하면 어떻게 설명해야 할까요?
1, -1진동하는 수열이면 limsup이 1인데 여기서 epsilon을 0.5로 잡으면 어떤 n_0를 잡아도 n>n_0면서 a_n=-1이라 b-epsilon=1-0.5=0.5보다 작아지는 n이 존재해서 거짓
아 -1>1-0.5=0.5 와 같은 관계가 존재하는 a_n이 있기 때문에 성립하지 못한다는 말씀이신 거죠?
해당 댓글은 삭제되었습니다.
세번쨰 거짓인 이유를 설명하라면 뭐라고 설명해야 할까요?
첫번째 공집합이 아니라면 참. 공집합도 포함한다면 거짓. 두번째 거짓. 세번째는 a-e보다 큰건 무한히 많기만 하면 되고 a+e보다는 항상 작아야 했던것같음
반례들면 걍 n 홀수일때 0. a 짝수일때 1이면 limsup은 1임. 근데 e=0.5일때 조건 만족안함.
공집합도 유계 집합으로 보는 건가요?
공집합이 유계집합이 맞긴 해요. 준 내용은 공집합 제외 참이고요. 공집합일때만 A'의 최소가 없어서 거짓.