prove if A is connected, then the closure of A is connected.
교재 hint에는 "어떤 특정 open set U가 U∩A' ≠ ∅ 이면 U∩A ≠ ∅"라는데 이게 뭔 소린지 이해가 되질 않습니다.. 어떻게 증명해야 하는 건가요.. 그리고 A가 disconnected인데 the closure of A는 connected인 예시도 하나 들라고 하는데 예시도 좀 알려주시면 감사하겠습니다 ㅠㅠ
* A'은 A의 limit points 집합입니다!
예시는 R에서 (0,1)U(1,2)
저 힌트는 거의 자명한데
connected set 개념에 대한 이해도가 지금 떨어지는 거 같아서 증명을 못하는 것 같습니다..ㅠㅠ
hint는 그냥 limit point 정의에서 바로 나오고 따라서 closure of A의 connected component는 A와 반드시 겹쳐야 하잖아 그럼 closure of A의 분할로 A의 분할을 만들 수 있다는 뜻임
limit point를 이해를 못하고 있는 건가.. 잘 이해가 되질 않습니다..
그냥 정의 그대론데 어떤 점을 포함하는 open set이 반드시 A의 원소를 포함하면 그걸 A의 limit point라 하잖아