[일반] 위상수학 compact set 질문인데요

[겜창인생(112.149)]

A,B가 cpt set일때 A와 B의 교집합이 not cpt가 되는 경우를 찾다가 얻은 풀이인데
이산위상에서 자연수의 전체집합과 자연수가 아닌 한 점 x_i로 이루어진 집합이 왜 cpt set이 되는건지 모르겠습니다
open cover를 어떻게 잡아야 유한개로 저걸 다 덮을수 있나요?

[ㄱㅇㄴ(175.223)]

Cpt 정의를 아직 이해 못한 것 같은데 open cover를 어떻게 잡는게 아니라 뭘 잡아도 finite subcover가 있음

[겜창인생(112.149)]

아 질문을 잘못썼네요 finitie open cover를 잡는게 어떻게 가능한건지 잘 모르겠습니다!

[익명(183.101)]

임의로 open cover를 택하고, 그러면 covering을 구성하는 open set들 중 x_i를 덮는 얘가 있을 거에요. 근데 x_i를 덮는 open set은 전체밖에 없으니까 그것만 가져오면 finite subcover 구성 끝.

[겜창인생(112.149)]

전체를 덮는 open set이라는게 {x_i U N}전체집합 말하는 것 맞나요?

[겜창인생(112.149)]

N이라는것 자체가 cpt가 아니라서 아무리 큰 cover를 가져와도 덮지 못하는 N+1이 존재할진데 전체를 덮는 open set이라는게 존재하나요?

[익명(210.179)]

뭔개소리야 N U {xi}에 위상을 어떻게 줬는지 잘 생각해봐라

[겜창인생(112.149)]

N에는 이산위상을 줬으니 어떤 자연수든지 다 홀원소집합이 위상에 존재하니까 N을 모두 덮는 open set이 존재하는건가요? 그런데 그러면 {N}도 모든 N을 덮는 open cover가 있을텐데 왜 cpt가 아니게 되는 건가요?

[익명(210.179)]

아니 미친놈아 finite subcover가 있기만 하면 된다고 NU{xi}가 open cover에 무조건 있으니까(없으면 open cover가아님) 그걸 뽑아서 쓰면 되잖아

[익명(183.101)]

N+1은 대체 뭐에요……?

[겜창인생(112.149)]

주어진 조건 하에서 N U {xi}가 open set중 하나니까 그걸 잡으면 finite subcover가 된다는건 알아듣겠습니다. 근데 위에 풀이에서 N은 무한집합에 이산위상을 준거니까 cpt가 아니라고 하는데, 같은 논리로 모든 자연수 각각이 위상에 홀원소집합으로 있으므로 이것도 마찬가지로 모든 자연수를 포함하는 open set이 존재해서 그거 하나를 집으면 finite subcover가 되니까 N도 cpt가 되야하는것 아닌가요? (실제론 아닌데) N은 안되고 {xi}UN은 되는 이유를 모르겠습니다. N+1은 어떤 subcover가 아무리 크다고 해도 그게 포함하지 못하는 N의 원소가 있다는걸 얘기하려고 썼는데 N에 보통위상이 아니라 이산위상이 들어간거니까 적용되지 않는 이야기 같습니다.

[익명(183.101)]

N에 이산위상을 줄 경우 {{0},{1},{2},{3},…}는 N의 open cover지만 finite subcover를 갖지 않습니다.

[겜창인생(112.149)]

유한개의 open set으로는 항상{{0},{1},{2},{3}...}을 모두 덮을 수 없지만 하나의 open set으로 {{xi},{0},{1},{2},{3},...}을 모두 덮을 수 있다고 알아들으면 될까요?

[익명(183.101)]

아니요…… N은 {N} 자체가 이미 open cover입니다. 하지만 {{0},{1},…}또한 open cover이고, 얜 finite subcover가 존재하지 않으므로 N은 compact가 아닙니다. x_i를 포함하는 open set이 전체 NU{x_i}밖에 없다는게 중요한 포인트입니다.

[익명(110.70)]

님 cpt 정의 다시 확인하고 오시는 게 나을 듯

[겜창인생(112.149)]

정의는 이미 스무번도 넘게 확인함 뭐가 문젠지를 모르겠네요

[익명(183.101)]

예를 들어 실수의 subspace {0,1,1/2,1/3,…,1/n,…}이 compact인거 증명 못하면 정의 모르는 거에요

[겜창인생(112.149)]

그건 (-e,e)를 open cover삼으면 유한개의 subcover로 전체를 덮을수 있는건 알고 있는데, 여기서는 같은 원리를 사용하지 못하는것 같아서 따로 질문드렸습니다

[익명(183.101)]

compact 정의 이해 못하고 계시네요. 임의의 open cover마다 finite subcover를 잡을 수 있음을 보여야 하는데, open cover가 꼭 (-e,e)꼴의 open set들로 구성되어야 할 필요는 없습니다. 예를 들어 {(-1,1)U(2,3), (0,2)}라는 {0,1,1/2,…}의 open cover를 생각해보면

[익명(183.101)]

해당 open cover에서 0을 포함하는 open set은 (-1,1)U(2,3)밖에 없습니다. 즉 (-ε,ε)꼴의 open set는 고려할 대상이 아닙니다.

[익명(183.101)]

아래 다른 댓글보니까 open cover가 주어진 경우에도 자꾸 cover에 속하지 않는 open set을 생각하려는 경향이 보이는데, 그건 틀린 생각입니다.

[겜창인생(112.149)]

그러네요, 임의의 open cover마다가 아니라 그냥 조건을 만족하는 어떤 open cover에서 어떤 finite subcover가 있으면 cpt라고 생각하고 있었습니다. 제가 강의에서 {0,1/n}의 집합이 cpt인 이유가 (-e,e)를 opencover로 잡아도 finite subcover가 있으므로 cpt이다라고 배웠는데, 그럼 존재하는 모든 open cover의 가능성 전부에 대해서 finite subcover가 존재한다는건 어떻게 증명해야 하나요?

[ScARfaCE(kayuaao)]

usual topology를 준 실수 전체의 집합 R에 대해 임의의 open cover{Ua|a in A}를 생각해보자 그럼 0을 포함하는 어떤 open set U'가 존재하잖어 근데 n->infinity 이면 1/n은 0으로 수렴하니까 이 U'는 n>=N에 대해 1/n을 가질거아님

[ScARfaCE(kayuaao)]

아 댓쓴줄알았는데 안써졌구나 쨌든 그럼 각 0<i<N 에 대해 1/i를 포함하는 open set Ui들이 존재하겠지 그럼 U'랑 이 Ui들을 모두 union시키면?

[익명(183.101)]

임의의 open cover에 대해 0을 포함하는 cover 안에 있는 open set U_0를 택할 수 있습니다. cover는 어쨌든 전체를 다 덮어야 하니까 그러한 U'가 존재합니다. 윗분 말대로 U'에 속하지 않는 1,1/2,…은 유한히 많으므로, 각 녀석마다 open cover 안에 있는 open set을 가져와 subcover를 구성할 수 있습니다.

[겜창인생(112.149)]

신기하네요... 두분 도움 덕에 조금이나마 이해하고 넘어간 것 같습니다 감사합니다!

[익명(210.179)]

답답해서 말좀 험하게 한거같다 미안함

[익명(211.210)]

뭔 자연수 집합이 compact임? 글쓴이 생각과는 별개로 저 집합은 컴팩트 아닌데

[겜창인생(112.149)]

주어진 조건 하에서 N은 cpt가 아님과 동시에 N U {xi}가 cpt가 되는 이유를 모르겠습니다.

[익명(124.46)]

자연수 포함하는 토폴로지가 usual topology만 있는게 아님. 그걸 벗어나서 생각해야 될거임. Open covering이 되려면 {x_i}를 포함해야하는데 이걸 포함하는 open set이 {x_i} U N밖에 없으니까 compact일 수 있는 거임.

[익명(147.46)]

discrete topology 준거 아님? 문제가 뭔지 정확히 모르겟ㄴ

[709(ehdghks709)]

예를 들어 {x1}uN의 an open cover를 {Oa}라 하면 x1을 포함하는 어떤 open set O1이 있을 거 아님? 근데 주어진 집합에 주어진 topology의 정의상 x1을 포함하는 open set은 {x1}uN나 {x1, x2}uN임 즉 O1={x1}uN or O1={x1, x2}uN임 그러면 O1만 있어도 {x1}uN을 다 덮을 수 있음. =>{Oa}의 a finite subcover 존재 =>{x1}uN: cpt

[겜창인생(112.149)]

깔끔하게 설명해주셔서 정말 감사합니다. N을 모두 덮을수 있는 어떤 open set Oa는 왜 존재하지 않는지 여쭤봐도 괜찮을까요?

[ㄱㄴㄷ(211.237)]

{{1}, {2}, ...}가 {Oa}라 생각해보셈

[ScARfaCE(kayuaao)]

이제 모르는거 없음?