a를 포함하는 열린구간에서 미분가능한 함수 f(x)는
x=a를 포함하는 닫힌구간에서 상수함수인 경우가 존재하지
않는다. 이때,

Case 1)


f'(a+t)f'(a-t)<0인 양수 t가 존재하여
0<r<t인 모든 실수 r에 대해

f'(a+r)f'(a-r)<0이다

라는 명제와,
f(x)는 x=a에서 극대 또는 극소이다
라는 명제는 동치이다. 참/거짓


Case 2)


f'(a+t1)f'(a-t2)<0인 양수 t1,t2가 존재하여
0<r<(min(t1,t2))인 모든 실수 r에 대해

f'(a+r)f'(a-r)<0이다

라는 명제와,
f(x)는 x=a에서 극대 또는 극소이다
라는 명제는 동치이다. 참/거짓


Case 3)


f'(a+t)f'(a-t)<0인 양수 t가 존재하여
0<min(r1,r2)<max(r1,r2)<t인
모든 실수 r1 r2에 대해

f'(a+r1)f'(a-r2)<0이다

라는 명제와,
f(x)는 x=a에서 극대 또는 극소이다
라는 명제는 동치이다. 참/거짓

Case 4)


f'(a+t1)f'(a-t2)<0인 양수 t1,t2가 존재하여
0<min(r1,r2)<max(r1,r2)<(min(t1,t2))인
모든 실수 r1 r2에 대해

f'(a+r1)f'(a-r2)<0이다

라는 명제와,
f(x)는 x=a에서 극대 또는 극소이다
라는 명제는 동치이다. 참/거짓


Case 1,2,3,4 전부 참인지,아니면 거짓이 잇는지,
전부 거짓인지 궁금합니다.

미분가능하다고 도함수가연속인것은 아니라서,
전부거짓인지,아니면 그래도 다참인지, 거짓이섞여잇는지
궁금합니다.

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