독자가 우리학교의 수학을 잘 모르는 사람임을 감안. 수학 잘 아는사람이 대상이었으면 이런거 쓸 엄두도 못냈지 ㅋㅋ

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a book of set theory, Charles C. Pinter
  
수학에 열정이 있는 수학과 학생이라면 막 입학한 후 수학을 배울 때 고등학교 때와는 다른 수학에 대한 기대감을 품기 마련이다. 보통은 ‘대학수학’ 이라는 이름으로 개설되는 미적분학 강의를 처음 듣는데 이때 고등학교때와 별로 다르지 않은 수학에 실망할 수도 있겠다.
하지만 곧 ‘집합론’이라는 강의를 듣게 되고 이때 처음으로 '조금 다른' 수학을 배운다. 학생들은 아마 수학이 생각했던 것 보다 더 철학에 가깝다고 느낄 수 있을 것이고 그동안 알던 ‘문제풀이’와 조금 다르다는 사실에 당황할 수 있다. 하지만 누군가는 자신이 새로운 수학을 공부하고 있다는 느낌에 기뻐할 것이다.
  
이 책은 우리학교 수학과에서 사용하는 교재는 아니지만 전 세계적인 명저이고 널리 읽히는 책이기 때문에 열심히 공부하여 후기를 작성하였다.
  
책은 단원별로 내용이 상이하다. 따라서 단원별로 후기를 적겠다.
  
Chapter 0 : 수학과 집합론의 역사
집합론은, 정확히는 공리적 집합론은 탄생한지 100년 정도밖에 되지 않았다. 이 챕터 없이 공리적 집합론을 배우면 학생들은 아마 “이게 무슨 필요가 있다고 배우죠? 그저 옳은 것을 옳다고 확인할 뿐이고, 심지어 어떤 것은 말장난에 불과한 것 아닙니까?” 라는 반응을 보일 수 있다. 놀랍게도 100년, 200년전 수학자들도 비슷한 반응이었다. 그들은 수학의 논리적 토대의 필요성을 무시했고 그 결과 ‘러셀의 역설’ ‘칸토르의 역설’ ‘베리의 역설’등 수많은 역설에 의해 수학의 기초가 흔들렸다. 수학자들은 집합론 등 수학의 기초를 건설해 이러한 문제를 해결했다. 당시 수학계는 매우 혼란스러운 상태였다. 이 챕터를 통해 그 혼란을 조금 맛볼 수 있을 것이다.
  
Chapter 1 : 클래스와 집합
이 챕터에서는 클래스와 집합에 대한 가장 기본적인 내용들을 배운다. 공리적 방법에 의해 사용가능한 도구들이 제시되고 그 도구 외에는 사용하면 안된다. 학생들은 그동안 고교과정에서 배웠던 집합이론을 다시 처음부터 쌓게 될 것이다.
  
Chapter 2 : 함수
우리는 고교과정에서 함수를 정말 많이 사용했다. 그러나 함수가 무엇인지는 아마 제대로 알고있지 못할 것이다. 이 챕터이서는 그동안 알고있던 전단사함수, 역함수 등을 다시 배운다.
  
Chapter 3 : 관계
동치관계와 함수에 대해 다루는 챕터이다. 학생들은 앞 단원의 함수는 사실 관계(relation)의 일종임을 알게 될 것이고 동치관계와 함수 사이에 어떤 관계가 있는지도 알게 된다.
  
Chapter 4 : 부분 순서 클래스
앞 단원에서 순서관계가 언급되었지만 별로 다루지 않았을 것이다. 이 단원에서는 순서란 무엇인지 깊게 다룬다. 학생들은 상한, 하한, 부분순서, 전순서, 정렬순서집합 등을 배움으로써 순서란 것이 생각보다 훨씬 일반적이며 실수집합에서의 부등호는 유일한 순서가 아니라 순서관계의 일종임을 알게 될 것이다.
  
Chapter 5 : 선택공리
수학 역사상 유클리드 5공리 이후로 가장 큰 논란을 불러일으킨 선택공리를 배운다. 지금까지도 비직관적인 개념을 많이 배웠지만 선택공리는 어떤 개념보다도 더 어려울 것이다.
학생들은 “집합에서 원소를 선택하는 함수” 라는 간단한 함수를 다루는 것에 어려움을 느낄 것이다. 하지만 선택공리는 매우 중요하다. 하우스도르프 극대원리, well ordering 정리, 초른의 보조정리 등 매우 매우 중요한 정리들이 선택공리과 같은 명제들이기 때문이다.
더 나아가 선택공리 없이는 간단한 명제조차 증명할 수 없음을 알게 될 것이다.
  
Chapter 6 : 자연수
자연수는 가장 직관적인 대상이다. 그러나 수학자들은 자연수조차 자연스러운 모습으로 둘 수 없었다. 학생들은 자연수가 존재하는지, 임의의 자연수에 0을 곱하면 0이 되는지, 같은 두 자연수에 대해 같은 수를 곱하면 정말 같아지는지 등 조금 우스꽝스러운 고민들을 하게 될 것이다. 그러나 매우 중요한 문제들이다.
  
Chapter 7 : 유한집합과 무한집합
집합론에 대해 교양수준에서 가장 많이 나오는 토픽은 무한집합이다. 보통 “유리수와 자연수의 개수는 같지만 실수는 자연수보다 많다”는 식으로 설명한다. 이 진술은 맞는 이야기지만 이것을 학술적으로 접근하면 생각보다 별로 흥미롭지 않음을 느낄 것이다. 왜냐하면 이것의 본질은 이 단원에서 배우듯이, 결국 함수에 대한 논의이기 때문이다.
  
Chapter 8 : 기수의 연산
“기수”라는 것에 대해 배운다. 이것은 집합에 원소가 얼마나 있는지 말해주는 수이다. 이전 챕터에서 배운 내용들과 함수가 많이 쓰이며 결국은 이전에 배웠던 내용들의 응용이라는 느낌이 강하다.
  
Chapter 9 : 서수의 연산
“서수”라는 것에 대해 배운다. 이것은 집합의 원소의 순서를 나타내는 수이다. 이전 챕터에서 배운 내용들과 함수가 많이 쓰이며 결국은 이전에 배웠던 내용들의 응용이라는 느낌이 강하다. 챕터의 마지막에서는 기수와 서수의 구성방법과 관계, 그리고 그 유명한 연속체 가설에 대해 배운다.
  
Chapter 10 : 초한귀납법
‘수학적 귀납법’에 대해 아는가? 수학적 귀납법은 자연수집합에 대해 적용할 수 있는 증명방법이다. 이 챕터에서는 수학적 귀납법을 확장해 우리가 새롭게 배운 무한집합에 적용하는 과정을 배울 것이다.
  
이 책은 수학의 기초인 집합론에 대한 더없이 좋은 입문서적이다. 학부수준에서 다룰 수 있는 거의 모든 내용을 다루었으며 대충 넘어가는 법이 없다. 학생들은 이 책과 ‘싸우며’ 자신의 실력을 키울 수 있을 것이다.
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이미 제출함. 이거 괜찮나?