아마 관심있는 사람들은 들어봤을 임의의 Inscribed square problem, 혹은 square peg problem은 임의의 평면위의 closed simple curve, 즉 Jordan curve 위에 어떤 정사각형을 이루는 네 점이 있는지 문는 문제임.


이 문제가 대학생이나 좀 잘하는 고딩도 이해할 수 있을만큼 쉬운데, 뭐 제대로된 진전이 한참 없어서 알아듣기는 쉬운데 풀기는 어려운 대표적 예시중에 하나였음.

예를 들어 타오도 2016년 [블로그 글]이나 논문에서 알 수 있듯이 시도한적 있는데, 별로 강한 결과는 아니구 커브가 두개의 특정한 립쉬쯔 펑션으로 나눠질때만 풀었음.

근데 또 이 문제가 웃기는게 뭐냐면, 정사각형이 아니라 직사각형에 대해서 물으면 1970년대 Vaughan이라는 아저씨가 일반적으로 풀었음. 근데 그 풀이가 엄청나게 예쁜걸로 유명함. 위상수학을 기가 막히게 쓰거든. 3Blue1Brown의 아래 동영상을 관람하는걸 추천함.

https://youtu.be/AmgkSdhK4K8

여튼 일반적으로는 접근하는게 굉장히 어려웠어. 근데 5월 중순에 아카이브에 이걸 Smooth케이스에 풀었다는 논문[링크]이 올라오고, Quanta 기사[링크]가 나와서 나도 알게되었는데 신기해서 대충 소개해봄. 정확하게는 좀 더 일반적으로 Smooth Jordan curve에 대해 정사각형 뿐만 아니라 임의의 직사각형과 닮은 직사각형이 그 커브 위에 있다는걸 증명함
나도 옛날옛적에 본 아이디어랑 새로 대충본거를 대충적는거라서 좀 틀릴수도있음ㅋ

위 동영상을 봤던 Vaughan의 풀이를 대충은 요약해야 하는데, 요점은 이거임. 곡선을 3차원에 embedding하는데, 이걸 곡선위의 임의의 두 점(ax,ay),(bx,by)에 대해 (ax+bx/2,ay+by/2,(a,b 사이의 거리))로 점을 찍는 이런 맵을 잡는거임.

그러면 뭔가 삼차원 공간이 생기겠지? 만약 이 맵이 injection이 아니라면 중접이 겹치면서 거리가 같은 두 점의 쌍이 두개 존재하는데, 얘가 바로 직사각형이잖아? 그래서 직사각형이 없으려면 이 맵이 injection이여야 함. 
근데 Jordan curve위의 ordered pair를 생각하면 Jordan curve가 R/Z니까 얘는 토러스랑 동형이고, unordered pair를 생각하면 얘는 토러스를 이케저케 접는거라서 뫼비우스의 띠가 되고, 접어서 생기는 (x,x) 바운더리, 즉 Jordan curve 자체의 점들이 뫼비우스의 띠의 경계면이 됨.
그러면 이제 뫼비우스의 띠를 R^3에 넣으면서 그 경계가 Jordan curve가 되어야해. 여기서 문제는 z좌표가 항상 0 이상인건데, 이게 불가능한거는 잘 알려져 있음.


그러면 이 아이디어를 확장할수 있을까? 특히 특정한 직사각형만 고려하도록? 이걸 한게 Cole Hugelmeyer라는 프린스턴 원생이라네 ㅋ [논문링크]

아이디어는 간단함. 논문도 두페이지야 ㅋㅋㅋ 그냥 위에 말한 3차원 embedding이 아닌, Jordan curve를 좌표평면에 올리고 고려하는 두 점 과 x축이 이루는 각까지 포함한 4차원 (정확하게는 마지막 차원은 S1이겠지)에 대한 embedding을 생각하는거임.
그 다음에 위에서 말한 뫼비우스의 띠의 두 점 사이의 함수를 생각하는건데, 각 부분을 거듭제곱해줘서 특정 비율이 kpi/2n for some k가 되면 캔슬되도록 맵을 잡는거야.
그러면 대각선이 특정 각을 이루는 직사각형들만 따로 떼서 생각할 수 있고, 이 아이디어를 이용해서 두 변의 길이비가 1:루트3인 직사각형이 Smooth Jordan curve위에 있음을 보였음.

작년에 이 아이디어를 스스로 확장해서 임의의 Jordan curve가 두 대각선이 이루는 각중 1/3정도에 대해서는 그거랑 닮은 직사각형이 smooth Jordan curve 위에 있다는것도 보였다네. [논문링크]

그럼 이번에 새로운 논문은? [링크] 거의 비슷한거같음. 사실 내가 이해할수는 없는데, 저 아이디어를 따오는데, Symplectic 구조를 보존하도록, 즉 symplectomorphism이 되도록 맵을 정하나봄. 그리고 뭔가 뫼비우스의 띠 대신 Klein bottle을 쓴듯. 무슨말이냐고? 사실 나는 모름 ㅋ 나는 수학을 다 까먹었거든. 하지만 풀이도 3페이지 조금 넘고, 지식 자체가 어렵지는 않은듯 하니 궁금하면 읽어보셈. 누가 잘하면 댓글에 해설해주지 않을까?