유한순환군에서 그 순환군의 위수의 약수를 위수로 하는 부분군이 반드시 유일하게 존재하잖아용. 혹시 역도 성립하나요?
그러니까 어떠한 유한군에서 위수의 약수들을 위수로 하는 부분군들이 유일하게 존재할때 그 군은 순환군이다. 라고 할 수 있나요?
될꺼 같긴한대 어떻게 증명을 해야할지 모르겠네요ㅠ
그러니까 어떠한 유한군에서 위수의 약수들을 위수로 하는 부분군들이 유일하게 존재할때 그 군은 순환군이다. 라고 할 수 있나요?
될꺼 같긴한대 어떻게 증명을 해야할지 모르겠네요ㅠ
아벨군이면 됐던거같은데
이건 유한 아벨군이 정수 군들의 곱으로 나타니서 증명 간단함
그건 라그랑지의 역 말하는거 아닌가요? 라그랑지에서는 부분군이 유일하게 존재하는게 아니잖아요
가정에 의해 각 p-Sylow subgroup들이 전부 normal이니까 주어진 군 G는 p-Sylow subgroup의 direct product로 나타낼 수 있을 거고,
그럼 nilpotent group이 됨.
fraleigh로 보고있는대 nilpotent group은 처음 들어보네요ㅠ 위키 검색해도 학부범위는 아닌 것 같구요.. 결론은 참이라는 건가요?
p-group에 대해서만 살펴보면 되는데, 다르게 푸는 게 더 쉬운듯. G의 order가 n이라고하고 각각의 d(d|n)에 대해서 위수가 d인 부분군이 존재하니까 order가 d인 element는 최대 phi(d)만큼 있음. n의 약수 d에 대해서 phi(d)를 다 더하면 딱 n이니까 order가 n인 원소가 있어야 함.
phi(d)를 다 더하면 딱 n이니까 에서 order가 n인 원소가 있어야 함으로 어떻게 넘어가는 건가요?
각 d|n에 대해서 order가 d인 원소의 개수는 phi(d)가 최대인데 그런 원소들의 개수를 다 더하면 n이 나와야 함. 그러니까 딱 phi(d)씩 가져야 한다는 거임. 고로 order가 n인 원소가 있음.
아~ 감사합니다! 그럼 굳이 유일하지 않아도 약수를 위수로 가지는 부분군이 존재하면 성립하는 거군요!
ㄴㄴ 위수가 d인 부분군이 유일하게 존재하니까 가능한거임. order d인 원소가 "최대" phi(d)만큼 존재할 수 있다는 것이 order d인 부분군이 유일하니까 연역해낼 수 있는 것임.
phi(d)씩 가져야 한다는게 무슨 소리야? d|n 일때 phi(d)다 더하면 n 나오는 거는 항상 성립하는거잖아 여기서 order가 n인 원소가 있다는게 어떻게 나오는 거야?
다시 보니까 내가 약간 애매하게 쓴 것 같아서 다시 씀. 네 말대로 그 등식은 항상 성립함 가능한 order d의 원소개수를 세어보면 phi(d)가 최대임. 왜냐면 order d인 원소가 있으면 order d인 cyclic subgroup이 있고 유일하게 존재하게 하니까 그렇고, 그 순환부분군의 generator의 개수는 phi(d)가 되니까
모든 가능한 order, 그러니까 각각의 n의 약수를 order로 가지는 원소를 세어서 다 더하면 n이 되어야 함. 그런데 n의 약수 중 하나에 대해서라도 그 약수를 order로 가지는 원소가 없다면 개수가 모자라게 됨. 그러니까 order가 n이 원소가 있어야ㅠ됨
ㄴㄴ 유명한 예로 A4가 있었던 것 같음. 얘는 order가 12인데 order 6인 subgroup 없음
글쓴이는 모든 약수를 위수로 가지는 부분군이 존재할 때를 묻는 것 같음