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요약있음
물리학에서 공간적인 회전을 나타내는 행렬은 보통 행렬식이 1이 되거든
그래서 이런 행렬들을 모은 집합을 SO(3) (스페셜 오소고널)이라 해


SO(3)의 위상을 그림으로 나타내어 보면, 3차원 구로 나타나는데, 이때 (theta , phi)방향을 회전의 중심축의 방향으로 잡고, 그 방향으로 Pi와 0사이의 각으로 회전 시킨다 할때의 각도의 값을 (r)의 좌표로 잡아서, (r theta phi)의 3튜플을 만드는거야

그리고 조금 더 생각해보면 구 표면의 한 끝과 그 반대쪽 끝은 연결되어 있다는 걸 깨달을 수 있지. 이제, 우리가 어떤 물질을 2Pi 바퀴를 돌린다 하자. 그러면 이 오브젝트는 같아 보일 순 있어도, 이 과정을 저 구 위에 그려보면, 한 점에서 그 반대편 점으로 가는 선 하나로 그려진다는거야.

그런데, 만약 우리가 이 물체의 초기 각도를 수정한다면 어떨까? 그러면 우리는 이 초기 각도를 벗어난 만큼 마지막 각도도 바꿔줘야될거야. 왜냐하면 2Pi를 회전시킨 것은 항상 같은 모습이어야되니까. 그러므로, 이러한 프로세스는 한 점으로 수축 될 수 없다는 걸 이야기하는거야.

자 그러면 4Pi만큼 회전시킨다면 무슨 일이 일어날까? 두번째 사진의 아랫쪽 세 그림을 보면, A-(B=C)-D 모양의 선 프로세스가 될거야. 그러면 B=C를 그 옆의 그림처럼 옮긴다면, 우리는 저 프로세스를 한 점으로 수축시킬 수 있을거란 이야기지. 즉, 4Pi를 옮기는 프로세스는 자기자신이 된다는거야.

그러면 이런 프로세스가 아니라, 실제 물리량 중에는 어떤 것이 이런 특성을 가지고 있을까? 그건 바로 스피너라는 물리량이야. 스피너가 theta라는 크기로 n 방향을 축으로 회전한다 하면, 이의 회전을 설명하는 행렬은 exp(-i theta(S dot n)/hbar) 라는 모양으로 기술되는데, 이때 S는 스핀의 크기를 확인하는 연산자로. hbar*(sigma_x, sigma_y, sigma_z)/2 로 기술돼. (시그마는 파울리 행렬) 그러면, 이 행렬은 R(theta)=exp( -i theta*(sigma dot n)/2)의 꼴이 되고, 이것에 의해  theta=2Pi일때 -I, 4Pi일때 I의 꼴이 되게 되지. 즉, 2Pi돌리면 반대방향, 4Pi돌리면 원래 방향이 나온다는 거지. 이러한 회전들을 묶어서 SU(2) 군이라 불러. 이를 잘 살펴보면 우리는 이렇게 생각 할 수 있지 : SU(2)의 두 점은 SO(3)의 한 점이 된다는 거야. 이를 Double Cover라 부르는데, 대수시간에 자서 잘 모르겠엉 ㅎㅎ

아무튼 스피너는 두바퀴 돌려야 자기자신이 나온단겨 스피너의 회전에 의해.

아직 학부생이라.. 이상한 부분이 있을 수도 있어서 그런 부분은 말해주면 좋겠네. 아무튼 긴 글 봐줘서 감사

요약
1. 2Pi회전 프로세스!= 4Pi회전 프로세스
2. 스피너는 그냥 2Pi 돌려도 반대
3. 설명 이상했으면 ㅈㅅ ㅎㅎ;