Lemma 3.27은
(a) M의 Compact set A에 대해, A안에서의 모든 점들의 section의값은 A에서의 local homology의 어떤 class의 image로 표현 가능하다는 얘기와
(b) A에서의 n을 넘는 local homology는 전부 0
임을 설명하고 있습니다.
*Lemma 3.27은 질문에는 직접적인 연관이 없어보이지만 혹시 몰라 가져왔습니다.
3.29는 M이 noncompact n-manifold일때 n이상의 호몰로지가 전부 0이라고 말해줍니다.
제가 궁금한것은 증명도중 i=n일 경우
H_n(M;R)안의 class [z]로 정의한 section [z]_x이 결국 zero section이 됨을 얘기하는 부분입니다.
M이 connected이므로 한 점에서 값만 결정하면 나머지 모든값이 결정됨을 알겠습니다. (M_R이 M_r들의 disjoint union이므로)
그런데 [z]_x가 어떤 x에서 0임을 설명하는 부분 (박스친부분의 세번째줄) 에서
'z가 M안에서 compact image를 가지지만, M이 compact가 아니므로~' 라는 부분이 있는데
여기서 z가 M안에서 compact image를 가지는것도 당연하고, M이 compact가 아닌것은 가정입니다. 따라서 문장자체는 이해했지만
이 문장이 어떻게 [z]_x가 zero section이라는 결론을 내는지를 모르겠습니다.
1. 설명했듯이 한점에서 0인걸 보이면 충분 2. z의 image를 K라 하면 M-K는 nonempty이므로 한점 y잡을 수 있음 3. [z]_y는 H_n(M,M-y;R)에서 0임 왜냐면 z의 image K가 M-y의 부분집합이니깐 z는 relative cocycle임
아 그러면 K는 compact M은 noncompact 얘기는 그냥 M-K가 nonempty다를 얘기하는거군요
ㅇㅇ맞음