독학 아닌 독학을 하는 중이라 헷갈려서 질문함... 틀린거 있는지 봐주면 감사하겠음. 내 수준은 지금 갈루아 이론에 막 발 들여놓은 상태임.

내가 최종적으로 하고싶은 질문은 이거임.



Q. 체 F의 갈루아 확대체 K에 대해, 갈루아군 G(K/Q)이 가환이라고 하자. H가 G(K/Q)의 한 부분군일 때, H의 고정체 K_H 가 F의 갈루아 확대체가 될 조건을 찾아보자.


일단, 위 조건만으로는 

1) K_H는 F의 정규확대체이다. (G(K/Q)가 가환이므로, H는 G(K/Q)의 정규부분군이고 K는 Q의 갈루아 확대체이므로 갈루아 이론에 의함)

2) K_H는 F의 유한확대체이다. (K는 유한확대체이므로 K의 부분체도 유한확대체임)

밖에 도출이 안 됨


K_H가 F의 분리확대체라는 사실을 이끌어내기 위해, 분리확대체의 정의 관련 조건을 쓰는건 너무 어렵고 K_H의 표수가 0일 조건을 쓰는게 내 수준에서 가장 좋다고 느꼈음

그러면 K_H는 F의 유한확대체이므로 대수적 확대체니까, 정리에 의해 분리확대체가 된다고 말 할수 있으니까말임


그런데 여기서 K_H의 표수가 0일 조건이 너무 인위적이고 괴상한 조건이 아닐까 하는 생각이 들었음

만약 'K의 표수가 0'인 사실로 K_H의 표수가 0임을 이끌어낸다던가 하는 거면 참 좋을텐데말임

그래서 새로 할 수 있는 질문이 이거임



(1) 만약 체 E의 확대체 K의 표수가 0일때, E의 표수도 0이라고 할 수 있을까?

근데 여기서 나올 수 있는 질문이, 유한체는 항상 표수가 소수꼴이니까 0이 되지 못함. 따라서 만약 무한체가 유한인 부분체를 가지면 위의 질문(1)은 틀린셈임.

그래서 나오는 또 다른 질문이


(2) 무한체의 부분체는 항상 무한일까?

물론 무한체라고 해서 표수가 항상 0이 아닌것은 알고 있음. 근데 적어도 유한체는 표수가 0일 수 없으니 위의 질문(2)부터 명확히 하고 싶었음.

아무튼 (2)에 대한 얘기로 돌아와서, 내가 아는 유한체라고는 기껏해야 Z_p 정도임. 여기서 Q와 Z_p의 관계를 생각했지만 원소가 다르니까 부분집합도 아니라서 이 예시는 탈락. 이거 가지고 이래저래 생각하다가 나오는 또 다른 질문이


(3) 무한군의 부분군은 항상 무한일까?

일단 나는 라그랑주정리를 알고 있지만, 이건 당연히 유한군에서만 얘기할 수 있으니까 실상 나는 무한군의 부분군이 무한인지 아닌지도 몰랐던거임.

만약 무한군에서 유한 부분군을 이끌어낸다면, (2)가 거짓일 가능성이 생기고 이와 관련된 힌트를 얻을 수 있지 않을까 생각했음.

그런데 어떤 군이던 항상 자명 부분군으로 {e}을 가지니 적어도 (3)은 아님. 하지만 체 K의 부분집합 {e}는 체는 되지 못함. 체에는 덧셈, 곱셈항등원이 서로 다르게 존재해야 하기 때문에 적어도 2개의 원소가 필요함. 아무튼 이것으로 (3)이 틀린 걸 밝힐 수 있었으나 이것만으로는 (2)를 반박할 수는 없었음.





아무튼 위에 내가 한 질문들에 대해 몇 가지 정도라도 조언해준다면 정말 감사하겠음. 아니면 내가 잘못 이해하고 있는 것도 알려주면 좋겠음