[일반] 단위 행렬 질문(질문 수정했습니다..!)

[수학잼민이(seongbin8801)]

어떠한 행렬(행렬 중에서도 0과 1로 이루어져 있고, 한 행과 한 열에는 무조건 1이 하나만 있는 특수한 행렬.)을 거듭제곱하면 언젠가는 단위 행렬이 나온다는 것을 어떻게 증명할 수 있을까요?

[익명(210.179)]

1 1;0 1 은 안됨

[수학잼민이(seongbin8801)]

한 행과 한 열에는 무조건 1이 하나만 있는 행렬입니다...

[익명(210.179)]

기본행렬이라말하면 선대에있는 elementary matrix로 알아들을수있으니 설명을 더하는게좋앗을듯..

[수학잼민이(seongbin8801)]

넵 수정했습니다!

[익명(118.235)]

permutation으로 볼 수 있어서 참임

[수학잼민이(seongbin8801)]

permutation의 거듭제곱은 왜 단위행렬이 될 수 있을까요..

[익명(223.39)]

기본행렬인데 각 행이랑 열에 1이 하나밖에 없고 나머지가 다 0이면 기본행렬의 정의에 의해서 1.단위행렬이거나 2.단위행렬의 임의의 두 행의 위치를 서로 바꾼거 밖에 없어서 거듭제곱까지 갈것도 없이 제곱만 해도 단위행렬이 나올수 밖에 없는데

[수학잼민이(seongbin8801)]

제가 기본행렬의 정의를 잘못알고 있었던 것 같습니다..죄송합니다. 질문 수정하였습니다 (기본행렬-->행렬)

[익명(223.39)]

permutation matrix가 된다는거 이용하는게 제일 편할듯

[수학잼민이(seongbin8801)]

치환행렬의 거듭제곱은 단위행렬이 된다는 것은 어떻게 보일 수 있을까요..

[익명(223.39)]

invertible인건 그 matrix의 transpose matrix랑 곱해보면 바로 확인가능하고, 거듭제곱을 해가다보면 비둘기 집의 원리에 의해 A^n=A^m인 n>m이 나오게되고 양쪽에 A^t의 m제곱을 곱해보면 A^(n-m)=I가 나오는거 확인가능

[수학잼민이(seongbin8801)]

감사합니다!!

[수학잼민이(seongbin8801)]

그렇다면 혹시 모든 행렬(문제 조건과 똑같은)이 n!번 계산(치환행렬을 통해 모든 길이가 n인 수열을 표현) 하기 전에 I가 나온다는 명제는 참일까요?

[af(223.62)]

permutation으로 볼 수 있다면 반대로 S_n의 표현으로 볼 수 있잖아.

[llll(110.35)]

ㅇㅇ permutation 행렬 개수가 n!개 이하라서 (위에 223.39가 말한 n,m의 차이가 n!이하니까) 그거 참임. 더 잘 증명하면 lcm(1,2,...,n)이하나 그것보다 살짝 작은거 이하인거도 증명 가능함.