[일반] 복소 최대크기원리 질문좀

[익명(182.225)]

왜 e^u(x.y)가 구역경계에서 최댓값을 갖는거임? 구역을 원점과 (3.0) (3.3) (0.3)을 지나는 정사각형이라 두고 u(x.y)= -x^2 + 4x -y^2 + 4y하면 (2.2)에서 최댓값을 갖는게 아니라 구역경계에서 최댓값을 갖는다는게 이해가 안돼는데쑹

몰라레후

- dc official App

[익명(223.39)]

니가 말한 u는 해석적이지가 않은니까 그렇지

[익명(223.39)]

정확히는 니가 말한 u를 가지고 f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)라고 f를 잡으면 어떤 v를 가져오더라도 f가 해석적일수가 없잖아

[익명(182.225)]

아 그렇구나 코시리만이 성립안하네 - dc App

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

그럴 수도 있어. 그러니까 f가 닫힌폐구간에서 해석적인데 경계가 아닌 정의역에서 최댓값을 가질 수 있어. 그런데 그럴경우 f가 상수함수가 될거야.

[익명(182.225)]

그 혹시 닫힌폐구간에서 해석함수를 f(x.y)=u(x.y) + v(x.y)라고 할때 e^u(x.y)의 최대값을 구간경계에서 항상갖는다를 어떻게 증명해야하는지 힌트좀 알려줄수 있을까 - dc App

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

일단 오타정정하면 단힌폐곡선이 아니고, 단힌단순연결곡선과 그 내부영역을 말하는 거였어

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

그런데 일적인 경우가 아니라 e^u(x+iy)만 원하는 이유라도 있어?

[익명(182.225)]

저 사진에 e^u(x.y)가 경계에서 최댓값을 갖는다는데 책에는 증명이 없어서ㅠ - dc App

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

보통 일반적으로는 정의역의 좌표z_0에서 최댓값을 같는다고 하고 z를 극좌표로서 z=z_0+re^i세타. 라고 두고 코스적분공식을 이용하여 증명하는 편이야.

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

코시적분공식에 의해 f(z_0)= 1/2pi integral 0 to 2pi f(z_0+re^i세타)d세타 z=z_0에서 최댓값을 같는다고 하면 ㅣf(z_0)ㅣ <_ 1/2pi integral 0 to 2pi ㅣf(z_0+re^i세타)ㅣd세타 <_ㅣf(z_0)ㅣ

[아까꺼다날아감(gkghwns)]

마지막 부등호 등호 빠져야 되는데 오타임. 아무튼 그래서 z_0가 영역 안에 있다는게 거짓이야

[익명(223.39)]

읽어보면 본문내용이 따름정리를 이용해서 u(x,y)가 경계에서 최대값을 갖는걸 증명하는 과정인데?

[익명(223.39)]

f가 해석적이면 e^f(z)도 해석적이니까 |e^f(z)|가 경계에서 최대값을 갖고, |e^(a+bi)|=e^a니까 |e^f(z)|=e^u(x,y)가 경계에서 최대값을 갖는다는 얘기.(z=x+iy에 대해 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)일 때)

[익명(223.39)]

그리고 밑이 e인 지수함수는 단조증가이므로(실함수의 경우) e^u(x,y)가 최대값을 가지려면 u(x,y)도 최대값을 가져야하니까 당연히 u(x,y)도 경계에서 최대값을 갖지