https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=math&no=18347&_rk=urT&page=1
이걸 보고 생각난거임.
처음 생각은 0 이 아닌 정수 n,m에 대해 1/n + 1/m 꼴로 나타낼 수 있는 0과 1 사이의 유리수는 어떤 형태일까? 였음.
당연히 저런꼴로 못나타내는 경우는 많겠지. 가령 3/4 같은 경우에는 1/2+1/4 로 나타낼 수 있음. 반면 3/7 같은 경우 못나타냄.
따라서 3 이상인 소수 p에 대해 3/p 꼴은 1/n+1/m 꼴이 아님.
따라서 2/p 꼴은 무조건 가능함. 재밌게도 1/p꼴은 안될거고. 여기서 좀 '좋은 성질' 은 아니라고 생각했음..
더 좋은 성질로 만들기 위해, "0이 아닌 정수의 역수 합" 으로 표현가능한 모든 유리수는 뭘까? 모든 유리수를 나타낼 수 있을까?
하지만 이럼 1/n을 열심히 더하기만 하면 되기때문에 그냥 모든 유리수를 나타낼 수 있게됨. 너무 자명해서 재미가 없음.
'모든 정수는 한번씩만' 이라는 제한을 걸면 어떨까?
일단 어떤 0과 1 사이의 실수든 충분히 근사가능하다는건 자명함.
무한합을 허용한다면 2/p = 1/p + (1/(p-1)+ 1/(p-1)^2 + ..... ) 으로 나타낼 수 있음.
음.... 이 이상으론 내 머리가 잘 안돌아감
질문을 정리하면, an 이 0이 아니고, 반복되지 않는 정수로 이루어진 유한 또는 무한수열이라고 할 때, 1/an 꼴의 합으로 모든 유리수를 나타낼 수 있을까?
난 일단 3/p 도 못 나타내겠음.
d=gcd(m,n)로 놓으면 m=dm' n=dn'인 m'와 n'이 존재 (m',n')=1임 그리고 (m',n')=1이면 (m'n',m'+n')=1 1/m+1/n=(m'+n')/dm'n' 그래서 1/m+1/n로 만들 수 있는 수들의 집합은 {p/q:x^2-px+q=0의 근이 모두 정수}만 알면 모두 알 수 있을듯
무한수열의 경우는 그냥 욕심쟁이 알고리즘 이용하면 될 것 같은데
오 그럼 p^2 > 4q인 영역 안에는 속하겠네
그리고 추가로 a^2 - 4b^2은 정수의 제곱 형태여야 하겠네
아 a^2 - 4b
m,n 둘다 2p면 1/p나오는데
중복 허용 안한다잖어 - dc App
중복허용안된다는 말이 어딨냐, 그리고 중복허용안돼도 1/(p+1)+1/{p(p+1)}=1/p라서 가능함
유한개 1/n합으로 쓰는걸 이집트 분수 표현이라구 함
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Egyptian_fraction
임의의 0과 1사이 유리수 나타낼수있음 (아마 임의의 양의 유리수도 될듯)
a/b=1/[b/a] + (-b mod a)/b[b/a]로 하면 분모를 자꾸 줄일수있음 [x]는 올림