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간단한 증명 없나.. If Minimal E 가 스무스하면 간단하게 증명가능한데..


Theorem [Density estimate]. Let $E$ be a minimal in $B_1$ and $0\in \partial E$ in measure sense, i.e. for any $\epsilon>0$ $|B_\epsilon\cap E|>0$ and $|B_\epsilon\cap E^c|>0$. Then there exists $c>0$ such that for all $r\in (0,1)$ \[\frac{|B_r\cap E|}{|B_r|}>c,\quad\frac{|B_r\cap E^c|}{|B_r|}>c.\]


참고로 borel set E 가 minimal in U 하다 함은 E가 U 밖에서 일치하는 집합들 중에서 제일 perimeter 가 작다는 뜻임. Perimeter 의 정의는 characteristic function 의 total variation 으로 정의하고.