[일반] 체 질문합니다

[체같네....(221.150)]

1번 같은경우는 a와 그 켤레인거랑 곱하니 유리수가 안나오고 무리수가 나오더라구요...

그래서 이걸 노가다로 6제곱하고 변형을 하나씩 다해봐야하기에는 출제의도가 아닌거 같애서... 어떻게 풀어야할지..ㅠㅠㅠ

4번은  귀류법쓰는거 맞나요??? 

Q(e^2pib)=Q(i)이잖아요  한편 cos(2pib)+isin(2pib) 이므로 sin(2pib)가 유리수이다...와 이정도밖에 생각이 안나서.ㅠㅠㅠㅠㅠ


도와주십쇼 ㅠㅠㅠㅠ

[코커널(116.37)]

4번: 만약 베타가 유리수라면 n/m꼴일거고(m은 자연수, n은 정수) 그러면 e^(2 파이i 베타)를 m제곱하면 1나와야함. 그니깐 3/5+4/5i는 root of unity니깐 Q위에서의 최소다항식 생각하면 cyclotomic polynomial이 되어야함. cyclotomic polynomial은 정수계수를 가짐이 잘 알려져있음 근데 3/5+4/5i

[코커널(116.37)]

의 최소다항식은 계산해보면 정수계수를 안가져서 모순임 (근데 이렇게 풀라고 낸 문제인지는 몰겠음)

[체같네(221.150)]

3/5+4/5i 의 최소다항식은 x^2-6/5x+1인데 이때 양변에 5곱하면 정수다항식이 되긴하잖아요? 근데 cyclotomic 은 최고차항의 계수가 1이되어야하므로 5를 곱하면 안되는거죠?

[코커널(116.37)]

최소다항식은 정의에 의해 모닉인것만 생각함

[코커널(117.111)]

1번 길게 답쓰다 날라갔는데 ㅅㅂ 어쨌든 참임. 다시쓰기 귀찮으니 힌트만 줌 w를 3의 12제곱근이라 하고 Q(w)=Q(a)를 보이면 충분하다는 것을 먼저 인지하셈 그리고 이건 [Q(a):Q]=12인걸 보이면 되고 얘는 어케보이냐면 F=Q(3의 3제곱근, 3의 4제곱근, i)의 갈루아군 원소 24개 나열하고(여긴쉬움) a의 켤레가 개수가 12인걸 세면됨

[채같네(221.150)]

휴....정말 감사합니다ㅠㅠㅠㅠㅠ 근데 마지막줄 갯수로 통해서 켤레가 12개인건 결국 a가 12차다항식의 근이니 켤레가 Q(a)의 원소라는 말씀이시죠

[코커널(116.37)]

내가 좀 헷갈리게 적긴했는데 a의 켤레는 a bar가 아니고 a의 최소다항식의 근들 얘기한거임

[코커널(116.37)]

a=w^4-3w^3, a bar=w^4+3w^3이니깐 Q(w)=Q(a)인걸 보이면 a bar가 Q(a)의 원소가 되는걸알수있는것임

[체같네(221.150)]

그렇게 나오네 요 ㅠㅠㅠㅠㅠㅠ정말감사합니다 ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ

[체같네(221.150)]

아 갑자기 a가 저렇게 된다는게 i가 어디에 대응되는거죠? 커널님께서 적은게 결국 w=3의 12제곱근이라고하여 3^(1/3), 3^(5/6)에 서로 대응되어서 동형사상이뤄는걸로 이해하고 있거든요...

[코커널(116.37)]

w=3의 12제곱근 x i 인데 잘못적었음