밑의 질문글도 보고 사촌동생한테 수학과외도 해보다가 느낀건데 고등학교 수준에서 미분을 너무 대충 가르치는것 같아서 끄적끄적해 봄

결국 고등학교때 배우는 미분이란건 순간변화율이란데서 시작하는데 여기서부터 혼란이 올수 있다고 생각함
변화율은 평균변화율이니까 순간변화율은 순간적으로 변하는 비율이고 미분은 이걸 계산할 도구라고 생각하는데서부터 고등학생들한테 문제가 올 것 같음

대부분의 과학이 그렇겠지만 특히 수학은 용어를 생각할때 단어 자체를 보고 뜻을 유추하는게 아니라 뜻이 먼저있고 단어를 거기 대응 시키는 느낌이라
순간변화율을 예로 들면 이 단어의 정의, 그러니까 앞서 언급한 '뜻'은 '평균변화율의 극한'임
그러니까 미분은 순간변화율을 구하는 도구가 아니라 순간변화율 그 자체라고 봐야지 (정확히 말하자면 주어진 점에서의 미분계수라고 봐야하겠지만)
이제 이걸 헷갈리면 "순간변화율이니까 순간적으로 변하는 비율이겠지?"라고 생각하면서 생각이 이상하게 나가게 되는거고
그래서 밑 글에서 질문한 평균변화율이 순간변화율로 간다는 질문을 사람들이 이해 자체를 못하는거임
정의를 질문하는거나 마찬가지니까

이거랑 별개로 이제 dx같은 표기들이 또 헷갈릴 수 있는데
Δx의 극한같은 설명은 그럴싸해보이긴 하지만 더 헷갈리니까 걍 머리속에서 지우는게 좋음
당연히 Δx의 극한은 dx가 아니라 0이거든

그럼 수학에서 쓰는 dx는 뭐냐라는 질문을 하면 대부분의 수학과가 x축 단위벡터의 dual이라고 하는데 이거에 관한 간단한 설명을 해봅시다
(여기서부턴 정확할진 모르겠고 카르탕이 제시한 직관을 내 나름대로 유추해본거고 고등학생 수준은 이해 못할수도 있음)


이제 일반적으로 미분형식이라 함은 fdx+gdy 같은 꼴을 나타내는 건데 저거랑 도대체 벡터의 dual이 무슨 상관이 있냐는 질문으로 넘어가지

이제부터 기하학적인 직관이 필요한데 카르탕은 이제 적분을 다른 형식으로 보기로 시작함
일반적으로 적분을 우리가 다룰때는 구간보다는 함수를 더 중요시하고 그래서 수학에서 L^p space같은걸 다루는데 이제 관점을 트는거임
일반적인 다양체 위에서 생각하면 적분이 그냥 구간이나 R^n의 부분집합이 아니라 곡선이나 곡면 혹은 그보대 차원이 높은 기하학적 대상위에서 적분을 하게 된단 말이지
그럼 적분이란 연산에서 함수부분은 고정하고 적분 구간(곡선이나 곡면 등)을 변수로 가지는 연산으로 봐도 되지 않을까라는 생각을 하게 되는거고 ㅇㅇ

근데 결국 곡선이나 곡면 등 기하학적 대상들은 국소적으로 보면 결국 그 접공간들을 다루게 된단말야
즉 이제 dx라는 표기로 돌아가자면 이건 구간(일반적으로는 곡선)을 실수로 보내는 연산으로 볼수가 있는데 구간을 국소적으로 보면 결국 그 곡선의 접벡터가 나오잖아?
그래서 결국 각 점마다 접벡터를 실수로 보낸값을 '구간 따라 쫙 더하면' (이게 결국 원래의 적분이랑 일치하는 부분임) 원래의 정적분 계산값이 나오는거지

결론적으로 각 점마다 접벡터를 실수로 보내는 연산이 fdx같은 놈들의 역할이라고 볼 수 있는데 이게 선형대수에서 말하던 dual임은 명백하고 ㅇㅇ

근데 사실 나중에 배우면 접벡터보단 dx같은 놈들이 조금 더 자연스럽게 정의 될 수 있는것도 배우는데 이에 관해선 Zariski tangent space같은 개념을 배우면 알 수 있워요
사실 그 쯤가면 이제 미분도 순간변화율이라는 개념보단 걍 라이프니츠 법칙을 만족시키는 module homomorphism이라고 볼거라 애초에 고등학교 내용이랑은 아예 다른 내용임
뭐 더 자세한건 내가 대수기하 좆뉴비 찐따라 내 설명보단 교수님 강의 듣거나 혼자 공부하는데 더 나을듯

의식의 흐름으로 끄적끄적 써봤는데 길어졌누...

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