a. 주어진 다항식은 기약이다
근은 2의 5제곱근 a와 1의 원시5제곱근 w을 갖는다
F=Q(a, w)
i는 1의 원시4제곱근이다
F는 i와 w를 동시에 포함하므로 1의 원시20제곱근을 갖는다
b. i가 F의 원소이면
Q(i)ㄷF가 성립한다
M=Q(w)라하자
M교Q(i)=L이라 하면 유한확대체 성질에 의해
[L:Q]=1 이거나 2다
[L:Q]=1은 모순임은 자명하다
[L:Q]=2이면 L=Q(i)다
따라서 Q(i)ㄷQ(w)다
한편 G(Q(w)/Q)은 Z4와 동형이고 위수 2인 순환부분군 단 하나를 가지며 이에 대응하는 중간체는 Q(루트5) 단 하나다
하지만 i not in Q(루트5)ㄷR이므로 모순
따라서 i 는 F의 원소가 아니다.
이렇게 두 개 푸렀는데 맞을까여?
c에선 동형이 아님을 보이는 원리가 Q 위로의 차수가 서로 같지 않으므로 동형이 아니다라고 쓰면 될까여????
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기왕이면 b 풀 때 a 에서의 결과를 이용하는게 좋지 읺을까요? 오타같은데 a에 만약 i in F 이면 이죠?? 암튼 그러면 원시20근있단 소린 [F:Q]가 20배수란 소린데 실제로 계산해보면 아니지 않을까여. 10인거같은데.
문제는 이상없앰 !! 넘나감사 ㅠ a 이용하면 엄청 쉬웠넹 ㅜㅜ 임고 문제 올리는거 나도 계속 푸러보고있음 잘되면 좋겠어 진짜 - dc App
a는 맞음. b는 맞다고 가정하면 F[i]=F니깐 a때문에 F가 원시20근 z를 포함. 근데 [F:Q]=20이고 [Q(z):Q]=파이(20)=8이어서 모순. c는 논리는 맞는데 차수가 같지 않은게 당연한결과는 아님.
아그렇구낭 넘나 쉬웠네ㅠ 그럼 Q(a, i)=Q(a+i) 가 됨을 보일 수 있다면 이걸 이용하는게 좋으려낭;;; 함부로 이렇게 쓰면 안된다고 교수님에게 들어서 망설이는중인데... 저번 문제도 답 달아주고 압도적 감사 ㅠㅠ.... - dc App
Q(a,i)=Q(a+i)임을 보이는게 그냥 a+i의 degree가 10인거 보이는거랑 결국 똑같은거임
Q(a,w,i)는 Q의 갈루아 extension이고 (b)때문에 Q위에서의 차원이 40임. 얘의 갈루아그룹의 원소 f를 생각하면 f(a)는 5개, f(w)는 4개, f(i)는 2개의 후보가 있음 근데 5x4x2=40이니깐 각 후보마다 대응되는 f가 하나씩 있다는것임. 이제 f(a+i)들 다 모아놓으면 서로다른게 10개있음을 확인하는건 쉬움. 근데
f(a+i)들이 a+i의 minimal polynomial의 근들이니깐 a+i는 degree가 10임